Moment síly a vektorový součin

Úloha číslo: 544

Na obrázku je klaun zavírající okno. Určete velikost a směr vektoru momentu vodorovné síly \(\vec F\), kterou klaun na okno působí vzhledem k ose závěsů.

takhle to vypadá
  • Moment síly jako vektor

    Moment síly, jak ho známe ze ZŠ, je číslo s jednotkou (skalární veličina), které získáme vynásobením velikosti síly s ramenem síly, což je kolmá vzdálenost mezi vektorovou přímkou síly a osou otáčení.

    Obecně je moment síly vektorová veličina definovaná vztahem:

    \[\vec M=\vec r \times \vec F\,,\]

    kde \(\vec F\) je působící síla,

    \(\vec r\) je polohový vektor, ten začíná v bodě, vůči kterému moment síly určujeme a míří do působiště síly

    a znak \(\times\) značí vektorový součin.

    Polohový vektor \(\vec r\) zakreslíme do obrázku.

     
    tady jsou ty potvory vektory

    Vektor \(\vec r\) je kolmý na osu, tedy vodorovný.

  • Velikost momentu síly

    Pokud vektory \(\vec r\) a \(\vec F\) svírají obecný úhel φ, je velikost momentu síly rovna:

    \[M=rF\sin\varphi\,.\]

    V případě, že jsou vektory \(\vec r\) a \(\vec F\) kolmé, je \(\sin\varphi = 1\), a pro velikost momentu síly platí:

    \[M=rF\,.\]  
    takhle to vypada

    Geometricky to lze chápat tak, že velikost výsledného vektoru je rovna rovnoběžníku vymezeného vektory \(\vec F\) a \(\vec r\). Speciálně, pokud spolu vektory svírají nulový úhel je výsledkem nulový vektor.

    takhle to vypada
  • Směr momentu síly

    Výsledný vektor momentu síly je vždy kolmý na rovinu, ve které leží oba původní vektory.

  • Orientace momentu síly

    Vektory musí tvořit tzv. pravotočivou bázi. To je tvar, který dostanete z prvních tří prstů pravé ruky, když natáhnete palec, ukazováček a prostředník kolmý na oba dva.

    V našem případě je \(\vec r\) první vektor (palec), \(\vec F\) druhý vektor (ukazovák) a třetím je \(\vec M\) (prostředník).

    Orientaci můžeme určit také pomocí pravidla pravé ruky následujícím způsobem: „ prsty dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{F}\) , napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{M}\).

    Nebude asi žádným překvapením, že použijete-li levou ruku, získáte bázi jinou, levotočivou.
  • Řešení

    Když známe oba vektory \(\vec r\) i \(\vec F\), použijeme znalosti o vektorovém součinu uvedené výše.

    Velikost vektoru momentu síly je \(M = Fr\sin \varphi\), kde φ je úhel sevřený vektory. Díky vlastnostem fuknce sin je jedno, který z úhlů mezi vektory vezmeme. Na obrázku odpovídá ploše vyšrafovaného rovnoběžníku.

    Směr vektoru \(\vec M\) je kolmý na \(\vec r\) i \(\vec F\), tedy rovnoběžný s osou otáčení.

    Abychom určili orientaci, použijeme pravidlo pravé ruky. \(\vec r\) je ve vektorovém součinu první, odpovídá tedy prvnímu prstu, \(\vec F\) druhý, dostane tedy druhý prst a \(\vec M\) třetí.

    Potažmo prsty pravé ruky míří od prvního vektoru ke druhému, palec ukazuje směr třetího vektoru. Výsledek je stejný.

    prilozime ruce k dilu

    Na obrázku tedy vektor \(\vec M\) míří ke stropu.

    (Všimněte si, že na obrázku jsme pro pravidlo pravé ruky vektory posunuli, aby začínaly v jednom bodě. Učinili jsme tak pouze pro lepší názornost, situace se tím nijak nemění.)

  • Odpověď

    Vektor momentu síly \(\vec M\) je rovnoběžný se závěsy okna a míří nahoru.

    Jeho velikost je \(rF\sin \varphi\), kde φ je úhel sevřený vektory.

    takhle to vypada
    Vektor vychází přímo vzhůru z roviny obrázku, proto je naznačen červenou tečkou (neplést s červeným nosem).
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha řešená graficky
Úloha s vysvětlením teorie
Původní zdroj: Bakalářská práce Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze