Intenzita gravitačního pole Země

Úloha číslo: 1245

Určete velikost intenzity \(K\) gravitačního pole Země

Obrázek k 
 zadání

a) ve středu Země.

b) v hloubce \(\frac{R}{2}\) pod povrchem Země, kde \(R\) je poloměr Země.

c) na povrchu Země.

d) ve vzdálenosti \(\frac{R}{2}\) nad Zemí.

e) ve vzdálenosti \(r \gt R\).

f) Narýsujte graf závislosti velikosti intenzity gravitačního pole Země na vzdálenosti od středu.

Poznámka: Zemi považujte za homogenní kouli.

  • Rozbor

    Nejprve si zopakujte, jak je definovaná intenzita gravitačního pole. Pak řešte dva případy. Vyjádřete si, jak se mění velikost intenzity uvnitř Země, tedy ve vzdálenosti \(r ≤ R\) od středu Země a vně Země, tedy ve vzdálenosti \(r \gt R\) od středu Země. V prvním případě je třeba ukázat, že ve vzdálenosti \(r ≤ R\) se uplatňuje jen gravitační působení části Země pod slupkou o poloměru \(r\) a gravitační působení od „zbytku“ Země se ruší.

  • Nápověda 1

    Jak je definovaná velikost intenzity gravitačního pole? Pomůže vám podívat se k teorii u úlohy Intenzita gravitačního pole mezi Zemí a Měsícem.

  • Nápověda 2

    Mějme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r ≤ R\) od středu Země S viz obrázek (Slupky).

    Slupky

    Určete, jak velkou silou \(F_{g1}\) působí tenká slupka o hmotnosti \(m_{1}\) na hmotný bod A. \(S_{1}\) značí povrch této slupky. Vzdálenost slupky o hmotnosti \(m_{1}\) od bodu A je \(a_{1}\).

    Určete, jak velkou silou \(F_{g2}\) působí tenká slupka o hmotnosti \(m_{2}\) na hmotný bod A. \(S_{2}\) značí povrch této slupky. Vzdálenost slupky o hmotnosti \(m_{2}\) od bodu A je \(a_{2}\).

    Zjistěte, jaký je vztah mezi \(F_{g1}\) a \(F_{g2}\).

    Poté si nakreslete obdobný obrázek, ale s tím rozdílem, že tentokrát úsečka \(a_{1}\) ani úsečka \(a_{2}\) neprochází středem Země S. Určete velikosti obou sil a vztah mezi nimi i pro tento případ.

  • Nápověda 3

    Máme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r\) od středu S a platí, že \(r ≤ R\).

    r je menší nebo rovno R

    Na hmotný bod A působí gravitační síla, která je vyvolána částí Země o poloměru \(r\).

    Pomocí Newtonova gravitačního zákona a vztahu (1) určete velikost intenzity v bodě A.

  • Nápověda 4

    Máme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r\) od středu Země S a platí, že \(r \gt R\).

    r je vetší než R

    Pomocí Newtonova gravitačního zákona a vztahu (1) určete intenzitu gravitačního pole v bodě A.

  • Nápověda 5 a)

    Jaká je výsledná gravitační síla \(F_{g}\), která působí na hmotný bod ve středu Země?

  • Nápověda 6 b), c), d), e)

    b) Platí \(\frac{R}{2} \lt R\). Dosaďte \(r=\frac{R}{2}\) do vztahu (10).

    c) Platí \(R = R\). Dosaďte \(r=R\) do vztahu (10).

    d) Platí \(\frac{R}{2}+R \gt R\). Dosaďte \(r=\frac{R}{2}+R=\frac{3}{2}R\) do vztahu (12).

    e) Řešení odpovídá vztahu (12).

  • Nápověda 7 f)

    Zjistili jsme, že pro \(r ≤ R\) platí pro velikost intenzity vztah: \[K=g \frac{r}{R}.\]

    Pro \(r \gt R\) platí pro velikost intenzity vztah: \[K=g \frac{R^2}{r^2}.\]

    Dále jsme odvodili: \(K\left(0\right)=0\), \(K\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{g}{2}\), \(K\left(R\right)=g\) a \(K\left(\frac{3}{2}R\right)=\frac{4}{9}g.\)

    (Kde \(g=\kappa \frac{M}{R^2}\).)

    S pomocí výše uvedeného sestrojte graf závislosti velikosti intenzity gravitačního pole Země \(K\) na vzdálenosti \(r\) od jejího středu.

  • Celkové řešení

    Velikost intenzity gravitačního pole

     

    Velikost intenzity gravitačního pole \(K\) je definována jako: \[K=\frac{F_{g}}{m},\tag{1}\] kde \(F_{g}\) je velikost gravitační síly působící v daném místě na hmotný bod o hmotnosti \(m\).

     

    Gravitační působení Země ve vzdálenosti \(r ≤ R\) (kde R je poloměr Země)

     

    Mějme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r\) od středu S viz obrázek (Slupky).

    Slupky

    Dle Newtonova gravitačního zákona určíme jakou silou \(F_{g1}\) působí slupka o hmotnosti \(m_{1}\) na hmotný bod A: \[F_{g1}=\kappa \frac{mm_{1}}{a_{1}^2},\tag{2}\] kde \(a_{1}\) je vzdálenost slupky o hmotnosti \(m_{1}\) od bodu A a \(\kappa\) je gravitační konstanta.

    Dle Newtonova gravitačního zákona určíme jakou silou \(F_{g2}\) působí slupka o hmotnosti \(m_{2}\) na hmotný bod A: \[F_{g2}=\kappa \frac{mm_{2}}{a_{2}^2},\tag{3}\] kde \(a_{2}\) je vzdálenost slupky o hmotnosti \(m_{2}\) od bodu A.

    Zjistíme jaký je vztah mezi \(F_{g1}\) a \(F_{g2}\).

    Vydělíme vztah (2) vztahem (3): \[\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{\kappa \frac{mm_{1}}{a_{1}^2}}{\kappa \frac{mm_{2}}{a_{2}^2}}.\] Vykrátíme \(\kappa\) a \(m\): \[\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{ \frac{m_{1}}{a_{1}^2}}{\frac{m_{2}}{a_{2}^2}}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \({F_{g2}}\frac{m_{2}}{a_{2}^2}\): \[F_{g1}\frac{m_{2}}{a_{2}^2}=F_{g2}\frac{m_{1}}{a_{1}^2}.\tag{4}\] Dle definice prostorového úhlu platí: \[\frac{S_{1}}{a_{1}^2}=\frac{S_{2}}{a_{2}^2},\] neboť máme stejné vrcholové úhly.

    Obě strany rovnice vynásobíme tloušťkou tenké slupky dr a hustotou Země \(\rho\): \[\frac{S_{1}\mathrm{d}r\rho}{a_{1}^2}=\frac{S_{2}\mathrm{d}r\rho}{a_{2}^2}.\tag{5}\] Platí \(S_{1}\mathrm{d}r\rho=m_{1}\) a \(S_{2}\mathrm{d}r\rho=m_{2}\), po dosazení dostáváme: \[\frac{m_{1}}{a_{1}^2}=\frac{m_{2}}{a_{2}^2}.\tag{6}\] Do vztahu (4) dosadíme za \(\frac{m_{1}}{a_{1}^2}\) dle (6): \[F_{g1}\frac{m_{2}}{a_{2}^2}=F_{g2}\frac{m_{2}}{a_{2}^2}.\] Obě strany rovnice vydělíme \(\frac{m_{2}}{a_{2}^2}\): \[F_{g1}=F_{g2}.\]

    Podíváme se, jaké budou velikosti obou sil a vztah mezi nimi v případě, že úsečka \(a_{1}\) ani úsečka \(a_{2}\) neprochází středem Země S.

    Nakreslíme si obrázek této situace. Vytvoříme kolmé průměty tenkých slupek \(S_{1}\cos{\alpha}\) a \(S_{2}\cos{\alpha}\).

    Slupky2
    Z obrázku vidíme, že úhly \(\alpha\) jsou stejné. Tedy platí: \[\frac{S_{1}\cos{\alpha}}{a_{1}^2}=\frac{S_{2}\cos{\alpha}}{a_{2}^2}.\] Obě strany rovnice vynásobíme \(\frac{\mathrm{d}r\rho}{\cos{\alpha}}\) a dostáváme vztah: \[\frac{S_{1}\mathrm{d}r\rho}{a_{1}^2}=\frac{S_{2}\mathrm{d}r\rho}{a_{2}^2},\] který odpovídá vztahu (5). Dále výpočet pokračuje jako v předchozím případě a opět dostáváme, že \(F_{g1}=F_{g2}.\) Síly \(F_{g1}\), \(F_{g2}\) mají v obou případech stejnou velikost, ale opačný směr. Na hmotný bod ve vzdálenosti \(r < R\) bude tedy působit jen část Země o poloměru r. Gravitační působení „zbytku“ Země se vyruší.

     

    Intenzita působící na hmotný bod uvnitř Země

     

    Máme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r\) od středu S a platí, že \(r ≤ R\).

    r je menší nebo rovno R

    Na hmotný bod A působí gravitační síla, která je vyvolána částí Země o poloměru \(r\).

    Zformulujeme Newtonův gravitační zákon pro gravitační sílu \(F_{g}\), kterou působí část Země o poloměru \(r\) na hmotný bod A: \[F_{g}=\kappa \frac{mM_{r}}{r^2},\tag{7}\] kde \(M_{r}\) je hmotnost části Země o poloměru \(r\).

    Pro hmotnost \(M_{r}\) bude platit: \[M_{r}= \frac{4}{3} \pi r^3 \rho,\tag{8}\] kde \(\frac{4}{3} \pi r^3\) je objem části Země o poloměru \(r\) a \(\rho\) je hustota Země.

    Dosadíme vztah (8) do vztahu (7): \[F_{g}=\kappa \frac{m\frac{4}{3} \pi r^3 \rho}{r^2}.\] \(r^2\) vykrátíme a dostáváme: \[F_{g}=\kappa m \frac{4}{3} \pi r \rho.\tag{9}\] Dosadíme vztah (9) do vztahu (1): \[K=\frac{\kappa m \frac{4}{3} \pi r \rho}{m}.\] \(m\) vykrátíme a vynásobíme pravou stranu rovnice jedničkou ve tvaru \(\frac{R^3}{R^3}\): \[K=\kappa \frac{4}{3} \pi r \rho\frac{R^3}{R^3}.\] \(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho\) odpovídá hmotnosti Země \(M\) a tedy: \[K=\kappa M r \frac{1}{R^3}.\] Dále platí, že gravitační zrychlení \(g=\kappa \frac{M}{R^2}\), po dosazení dostáváme: \[K=g \frac{r}{R},\tag{10}\] kde \(r ≤ R\).

     

    Intenzita působící na hmotný bod vně Země

     

    Máme bod A o hmotnosti \(m\) ve vzdálenosti \(r\) od středu S a platí, že \(r \gt R\).

    r je vetší než R

    Pomocí Newtonova gravitačního zákona vyjádříme velikost gravitační síly \(F_{g}\), kterou působí Země na hmotný bod A, který se nachází ve vzdálenosti \(r \gt R\): \[F_{g}=\kappa \frac{mM}{r^2}.\tag{11}\]

    Dosadíme vztah (11) do vztahu (1): \[K=\frac{\kappa \frac{mM}{r^2}}{m}.\] \(m\) vykrátíme a vynásobíme pravou stranu rovnice jedničkou ve tvaru \(\frac{R^2}{R^2}\): \[K= \kappa \frac{M}{r^2}\frac{R^2}{R^2}.\] \(\kappa \frac{M}{R^2}\) odpovídá gravitačnímu zrychlení \(g\) a tedy: \[K=g \frac{R^2}{r^2},\tag{12}\] kde \(r \gt R\).

     

    a) Intenzita ve středu Země

     

    Výsledná gravitační síla \(F_{g}\) působící na hmotný bod ve středu Země je nulová, protože všechny síly, kterými působí části Země na bod o hmotnosti \(m\) v jejím středu, se navzájem vyruší. Dosazením za \(F_{g}\) do vztahu (1) dostáváme intenzitu ve středu Země \(K\): \[K=\frac{0}{m}=0.\]

    Ke stejnému výsledku dojdeme i dosazením za r = 0 do vztahu (10).

     

    Řešení b), c), d) a e)

     

    b) Platí \(\frac{R}{2} \lt R\). Dosadíme \(r=\frac{R}{2}\) do vztahu (10): \[K=g \frac{\frac{R}{2}}{R}.\] \(R\) vykrátíme: \[K=\frac{g}{2}.\]

    c) Platí \(R = R\). Dosadíme \(r=R\) do vztahu (10): \[K=g \frac{R}{R}.\] \(R\) vykrátíme: \[K=g.\]

    d) Platí \(\frac{R}{2}+R \gt R\). Dosadíme \(r=\frac{3}{2}R\) do vztahu (12): \[K=g \frac{R^2}{\left( \frac{3}{2}R\right)^2}.\] \(R^2\) vykrátíme a upravíme výraz: \[K=\frac{4}{9}g.\]

    e) Řešení odpovídá vztahu (12): \[K=g \frac{R^2}{r^2}.\]

     

    Graf závislosti velikosti intenzity gravitačního pole Země \(K\) na vzdálenosti \(r\) od středu Země

     

    Pro \(r ≤ R\) platí vztah: \[K=g \frac{r}{R}.\]

    Pro \(r \gt R\) platí vztah: \[K=g \frac{R^2}{r^2}.\]

    Dále jsme odvodili: \(K\left(0\right)=0\), \(K\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{g}{2}\), \(K\left(R\right)=g\) a \(K\left(\frac{3}{2}R\right)=\frac{4}{9}g.\)

    (Kde \(g=\kappa \frac{M}{R^2}\).)

    Sestrojíme graf závislosti intenzity gravitačního pole Země \(K\) na vzdálenosti \(r\) od středu Země.

    Závislost intenzity gravitačního pole Země K na vzdálenosti r

  • Odpověď

    Velikost intenzity \(K\) gravitačního pole Země

    a) ve středu Země: \(K\left(0\right)=0\),

    b) v hloubce \(\frac{R}{2}\) pod povrchem Země: \(K\left(\frac{R}{2}\right)=\frac{g}{2}\),

    c) na povrchu Země: \(K\left(R\right)=g\),

    d) ve vzdálenosti \(\frac{R}{2}\) nad Zemí: \(K\left(\frac{3}{2}R\right)=\frac{4}{9}g\),

    e) ve vzdálenosti \(r \gt R\): \(K=g \frac{R^2}{r^2}\), (kde \(g=\kappa \frac{M}{R^2}\)).

    f) Graf závislosti intenzity gravitačního pole Země na vzdálenosti od středu:

    
 Závislost intenzity gravitačního pole Země K na vzdálenosti r

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Upraveno podle: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro
studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Upraveno podle: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze