Sbírka řešených úloh

Druh pohybu

Úloha číslo: 192

• Nápověda 1 a): Rovnoměrný pohyb

  Rozmyslete si, čím se vyznačuje rovnoměrný pohyb.

• Řešení nápovědy 1 a)

  Rovnoměrný pohyb se vyznačuje tím, že velikost rychlosti tohoto pohybu je konstantní.

• Nápověda 2 a): Vektor rychlosti

  Jak se určí složky vektoru rychlosti, pokud známe parametrické vyjádření trajektorie pohybu?

• Řešení nápovědy 2 a)

  Složky vektoru rychlosti získáme derivací jednotlivých rovnic ze zadaného parametrického vyjádření trajektorie podle času (tj. derivací jednotlivých souřadnic).

  \[v_\mathrm{x} = \frac{dx}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( cos(\omega t)\right) = - R\omega\sin\omega t\,,\] \[v_\mathrm{y}= \frac{dy}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( sin(\omega t)\right) =R\omega\cos\omega t\,,\] \[v_\mathrm{z}= \frac{dz}{dt}= \frac{d}{dt}\left(kt\right) =k\,.\]

• Nápověda 3 a): Velikost vektoru rychlosti

  Jak se spočítá velikost vektoru?

• Řešení nápovědy 3 a)

  Pro velikost vektoru rychlosti platí:

  \[v= \mid\vec v\mid =\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}+v_\mathrm{y}^{2}+v_\mathrm{z}^{2}}=\sqrt{R^{2}\omega^{2} \sin^{2}\omega t+ R^{2}\omega^{2} \cos^{2}\omega t+ k^{2}} =\] \[= \sqrt {R^{2}\omega^{2}\left( \sin^{2}\omega t + cos^{2}\omega t\right)+ k^{2}}\,,\] \[v=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+ k^{2}}\,.\]

  Protože velikost rychlosti pohybu nezávisí na čase, jde o pohyb rovnoměrný.

• Nápověda 4 b): Trajektorie pohybu

  Jaký pohyb vyjadřuje rovnice popisující souřadnici z?

  Jaký pohyb vyjadřují rovnice popisující souřadnice x a y?

  Jakou křivku získáme složením obou trajektorií?

• Řešení nápovědy 4 b)

  Trajektorii pohybu určíme tak, že se napřed podíváme, jaký pohyb by těleso konalo v rovině x, y a pak jaký pohyb koná ve směru osy z.

  V průmětu do roviny x, y jde o rovnoměrný pohyb po kružnici. Ve směru osy z se jedná o rovnoměrný přímočarý pohyb.

  Hmotný bod se tedy pohybuje tak, že v průmětu do roviny x, y opisuje kružnici a zároveň je v každém okamžiku o kousek výš ve směru osy z. Trajektorie takového pohybu je šroubovice.

• Celkové řešení

  Funkce

  \[x = R\cos(\omega t),\] \[y = R\sin(\omega t),\] \[z = k t,\]

  jsou parametrickým vyjádřením trajektorie pohybujícího se tělesa. Vyjadřují závislost souřadnic na čase.

   

  Vektor rychlosti

  Složky vektoru rychlosti získáme derivací jednotlivých rovnic ze zadaného parametrického vyjádření trajektorie podle času (tj. derivací jednotlivých souřadnic).

  \[v_\mathrm{x} = \frac{dx}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( cos(\omega t)\right) = - R\omega\sin\omega t\,,\] \[v_\mathrm{y}= \frac{dy}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( sin(\omega t)\right) =R\omega\cos\omega t\,,\] \[v_\mathrm{z}= \frac{dz}{dt}= \frac{d}{dt}\left(kt\right) =k\,,\] \[\vec v = \left( - R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t, \, k\right).\]

   

  Velikost vektoru rychlosti

  Pro velikost vektoru rychlosti platí:

  \[v= \mid\vec v\mid =\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}=\sqrt{R^{2}\omega^{2} \sin^{2}\omega t+ R^{2}\omega^{2} \cos^{2}\omega t+ k^{2}} =\] \[= \sqrt {R^{2}\omega^{2}\left( \sin^{2}\omega t + cos^{2}\omega t\right)+ k^{2}}\,,\] \[v=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+ k^{2}}\,.\]

  Protože velikost rychlosti pohybu nezávisí na čase, jde o pohyb rovnoměrný.

   

  Trajektorie pohybu

  Trajektorii pohybu určíme tak, že se napřed podíváme, jaký pohyb by těleso konalo v rovině x, y a pak jaký pohyb koná ve směru osy z.

  V průmětu do roviny x, y jde o rovnoměrný pohyb po kružnici. Ve směru osy z se jedná o rovnoměrný přímočarý pohyb.

  Hmotný bod se tedy pohybuje tak, že v průmětu do roviny x, y opisuje kružnici a zároveň je v každém okamžiku o kousek výš ve směru osy z. Trajektorie takového pohybu je šroubovice.

• Odpověď

  a) Velikost rychlosti je určena vztahem:

  \[v=\sqrt{R^{2}\cdot\omega^{2}+k^{2}}.\]

  Pohyb je rovnoměrný.

  b) Souřadnice x, y vyjadřují rovnoměrný pohyb po kružnici, souřadnice z rovnoměrný přímočarý pohyb.

  Trajektorií pohybu je tedy šroubovice (nikoliv spirála; spirála je rovinná křivka, tato křivka je prostorová).

• Vizualizace pohybu

  Kliknutím na tlačítko „Zapnout animaci“ se spustí animace pohybu červeného bodu, opětovné kliknutí tuto animaci zastaví. Čas \(t\) je možné měnit na posuvníku. Tlačítko „Zapnout stopu“ zapíná/vypíná stopu červeného bodu. Po zaškrtnutí tlačítka „Zobrazit trajektorii“ se zobrazí trajektorie červeného bodu bez nutnosti vykreslení této křivky stopou. Obdobně zaškrtnutím tlačítka „Zobrazit průmět do roviny \(xy\)“ se zobrazí v obou částech apletu průmět zkoumaného pohybu do roviny \(xy\). Tlačítko „Reset“ zastaví animaci a vrátí aplet do původního stavu.

   

   

  Z apletu je dobře vidět, že trajektorií pohybu je šroubovice. Pokud tento pohyb promítneme do roviny \(xy\), získáváme rovnoměrný pohyb po kružnici.