Druh pohybu

Úloha číslo: 192

a) Je pohyb popsaný funkcemi x = Rcos(ωt),  y = Rsin(ωt),  z = kt rovnoměrný? Jaká je velikost rychlosti? (Rk jsou konstanty.)

b) Z jakých pohybů je pohyb složen? Jaká křivka je trajektorií pohybu?

  • Nápověda 1a): Rovnoměrný pohyb

    Rozmyslete si, čím se vyznačuje rovnoměrný pohyb.

  • Nápověda 2 a): Vektor rychlosti

    Jak se určí složky vektoru rychlosti, pokud známe parametrické vyjádření trajektorie pohybu?

  • Nápověda 3 a): Velikost vektoru rychlosti

    Jak se spočítá velikost vektoru?

  • Nápověda 4 b): Trajektorie pohybu

    Jaký pohyb vyjadřuje rovnice popisující souřadnici z?

    Jaký pohyb vyjadřují rovnice popisující souřadnice x a y?

    Jakou křivku získáme složením obou trajektorií?

  • Celkové řešení

    Funkce

    \[x = R\cos(\omega t),\] \[y = R\sin(\omega t),\] \[z = k t,\]

    jsou parametrickým vyjádřením trajektorie pohybujícího se tělesa. Vyjadřují závislost souřadnic na čase.

     

    Vektor rychlosti

    Složky vektoru rychlosti získáme derivací jednotlivých rovnic ze zadaného parametrického vyjádření trajektorie podle času (tj. derivací jednotlivých souřadnic).

    \[v_{x} = \frac{dx}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( cos(\omega t)\right) = - R\omega\sin\omega t\,,\] \[v_{y}= \frac{dy}{dt}= R\frac{d}{dt}\left( sin(\omega t)\right) =R\omega\cos\omega t\,,\] \[v_{z}= \frac{dz}{dt}= \frac{d}{dt}\left(kt\right) =k\,,\] \[\vec v = \left( - R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t, \, k\right).\]

     

    Velikost vektoru rychlosti

    Pro velikost vektoru rychlosti platí:

    \[v= \mid\vec v\mid =\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}=\sqrt{R^{2}\omega^{2} \sin^{2}\omega t+ R^{2}\omega^{2} \cos^{2}\omega t+ k^{2}} =\] \[= \sqrt {R^{2}\omega^{2}\left( \sin^{2}\omega t + cos^{2}\omega t\right)+ k^{2}}\,,\] \[v=\sqrt{R^{2}\omega^{2}+ k^{2}}\,.\]

    Protože velikost rychlosti pohybu nezávisí na čase, jde o pohyb rovnoměrný.

     

    Trajektorie pohybu

    Trajektorii pohybu určíme tak, že se napřed podíváme, jaký pohyb by těleso konalo v rovině x, y a pak jaký pohyb koná ve směru osy z.

    V průmětu do roviny x, y jde o rovnoměrný pohyb po kružnici. Ve směru osy z se jedná o rovnoměrný přímočarý pohyb.

    Hmotný bod se tedy pohybuje tak, že v průmětu do roviny x, y opisuje kružnici a zároveň je v každém okamžiku o kousek výš ve směru osy z. Trajektorie takového pohybu je šroubovice.

  • Odpověď

    a) Velikost rychlosti je určena vztahem:

    \[v=\sqrt{R^{2}\cdot\omega^{2}+k^{2}}.\]

    Pohyb je rovnoměrný.

    b) Souřadnice x, y vyjadřují rovnoměrný pohyb po kružnici, souřadnice z rovnoměrný přímočarý pohyb.

    Trajektorií pohybu je tedy šroubovice (nikoliv spirála; spirála je rovinná křivka, tato křivka je prostorová).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze