Otáčení kola

Úloha číslo: 119

Kolo se otáčí s frekvencí 25 Hz. Brzděním lze dosáhnout, že jeho otáčení bude rovnoměrně zpomalené a kolo se zastaví po čase 30 s od začátku brzdění. Vypočítejte úhlové zrychlení kola a počet otáček, které kolo vykoná od počátku brzdění do zastavení.

  • Zápis

    f = 25 Hz frekvence otáčení kola
    t0 = 30 s čas, po kterém se kolo zastaví
    ε = ? (s-2) úhlové zrychlení kola
    N = ? počet otáček, které kolo vykoná od počátku brzdění do zastavení
  • Nápověda 1: Úhlové zrychlení kola

    Uvědomte si, jaký vztah platí mezi okamžitou hodnotou úhlové rychlosti a úhlovým zrychlením kola.

    Jakou počáteční úhlovou rychlostí se kolo pohybovalo před tím, než začalo brzdit? A jaká byla velikost úhlové rychlosti v čase t0 ?

  • Nápověda 2 : Počet otáček - početní řešení

    Jakým způsobem zjistíte, kolik otáček kolo provedlo za určitý čas?

    Použijte k tomu úhel, který polohový vektor libovolného bodu kola opíše vzhledem ke středu za určitý čas. Ten vyjádříte pomocí velikosti úhlového zrychlení, které znáte z předchozí nápovědy, a velikosti úhlové rychlosti před brzděním kola.

  • Nápověda 3: Počet otáček - grafické řešení

    Počet otáček kola za čas t0 lze zjistit také graficky.

    Nakreslete graf závislosti frekvence otáčení kola na čase. Kde je v grafu schovaný daný počet otáček?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Pro okamžitou hodnotu úhlové rychlosti platí vztah:

     

    \[\omega\,=\,\omega_0+\varepsilon t\,,\] \[\omega_0\,=\,2\pi f\,=\,50\pi\,\mathrm{s^{-1}}\,.\]

     

    V čase t = t0 bude ω = 0, takže:

     

    \[\omega_0+\varepsilon{t_0}\,=\,0\,,\] \[\varepsilon\,=\,-\frac{\omega_0}{t_0}\,=\,-\frac{2{\pi}f}{t_0} \,=\, -\frac{50}{30}\pi\,\mathrm{s^{-2}}\,=\,-5{,}24\,\mathrm{s^{-2}}\,.\]

     

    Polohový vektor libovolného bodu kola opíše vzhledem ke středu za čas t0 úhel:

     

    \[\psi_0\,=\,\omega_0t_0+\frac{\varepsilon{t_0^{2}}}{2}\,=\, 2{\pi}ft_0 + \frac{\varepsilon{t_0^{2}}}{2}\,,\] \[\psi_0\,=\, 1500\pi-\frac{5}{6}\pi900\,=\,750\pi\,.\]

     

    Počet otáček za čas t0:

     

    \[N\,=\,\frac{\psi_0}{2\pi}\,=\,\frac{750\pi}{2\pi}\,=\,375\,.\]

     

    Grafické řešení:

     

    Grafické řešení úlohy

     

    Počtu otáček odpovídá plocha pod křivkou.

  • Odpověď

    Úhlové zrychlení kola ε je:

     

    \[\varepsilon\,=\,-\frac{2{\pi}f}{t_0} \,=\, -5{,}24\,\mathrm{s^{-2}}\,.\]

     

    Počet otáček N, které kolo vykoná od počátku brzdění do zastavení, je:

     

    \[N\,=\,\frac{\psi_0}{2\pi}\,=\,ft_0 + \frac{\varepsilon{t_0^{2}}}{4\pi}\,=\,375\,.\]
  • Počet otáček - ještě jinak

    Počet otáček kola lze určit také následujícím způsobem. Frekvence otáčení se s časem mění podle vztahu:

    \[f\left(t\right)\,=\, f_0 - kt\,,\]

    kde

    \[k\,=\,\frac{25}{30}\,.\]

    (směrnice přímky v grafu z Nápovědy 3)

    Počet otáček kola od začátku brzdění do zastavení pak můžeme spočítat jako integrál funkce f(t) v daném časovém intervalu (obsah plochy pod křivkou):

    \[N\,=\,\int_{0}^{30}{f(t)}\mathrm{d}t\,=\, \int_{0}^{30}{(f_0 - \frac{25}{30}t)}\mathrm{d}t\,,\] \[N\,=\,\int_{0}^{30}{(f_0 - \frac{5}{6}t)}\mathrm{d}t\,=\, \left[f_0t - \frac{5t^{2}}{6{\cdot}2}\right]_0^{30}\,,\] \[N\,=\, 25{\cdot}30 - \frac{5{\cdot}30^{2}}{2{\cdot}6} \,=\, 375\,.\]
  • Podobná úloha

    Zkuste podobnou úlohu Rotor turbíny.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze