Jak dlouhý je bazén?
Úloha číslo: 105
Dva plavci – Karel a Petr – trénují na sousedních drahách bazénu. Odstartují ve stejný okamžik a oba plavou rychlostí konstantní velikosti. Karel je lepší plavec, proto předežene Petra, doplave na konec dráhy a vrací se zpět. Na zpáteční cestě potká Petra právě 5 metrů od konce dráhy, plave dál, doplave na místo startu, otočí se a plave opět zpátky. Přitom potká Petra ve vzdálenosti rovné jedné pětině délky bazénu od místa startu. Jak dlouhý je bazén?
Předpokládejte, že se oba plavci pohybují stále rychlostí konstantní velikosti (zanedbejte tedy změny velikosti rychlosti při otočkách).
Zápis
s = 5 m vzdálenost od konce dráhy, kde se Petr a Karel poprvé potkají n = 5 místo druhého setkání v jedné n-tině bazénu x = ? (m) délka bazénu Rozbor:
Zaměříme se na okamžiky, kdy se oba plavci potkali. Zapíšeme, jaká byla vzdálenost, kterou plavci do těchto okamžiků uplavali, a to jak pomocí neznámé délky bazénu, tak pomocí rychlosti, kterou plavali. Zjistíme, co v obou případech platí pro poměr jejich rychlostí.
Nápověda 1: První setkání Karla a Petra, poměr jejich drah
Označte si délku bazénu x .
Vyjádřete si celkovou dráhu, kterou uplaval Karel do prvního setkání, a totéž udělejte pro Petra.
Čemu je roven poměr těchto drah?
Uvědomte si, co platí pro čas, za který tyto dráhy uplavali.
Nápověda 2: Druhé setkání Karla a Petra, poměr jejich drah
Obdobně si vyjádřete dráhy, které Karel a Petr uplavali do druhého setkání.
Co opět platí pro jejich poměr?
Nápověda 3: Porovnání obou poměrů drah
Porovnejte oba poměry drah. Stačí nám to k výpočtu délky bazénu?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Předpokládejme, že oba plavci se pohybují rovnoměrně přímočaře. Při prvním setkání plavců (v čase t) musí platit:
\[v_\mathrm{k}t\,=\,x+s\,\]\(v_\mathrm{k}\) …rychlost Karla
\(x+s\) …dráha, kterou uplaval Karel do chvíle, než potkal Petra
\[v_\mathrm{p}t\,=\,x-s\,,\]\(v_\mathrm{p}\) …rychlost Petra
\(x-s\) …dráha, kterou uplaval Petr do chvíle, než potkal Karla
Čas t, za který Petr a Karel tyto dráhy uplavali, musí být stejný, protože se spolu setkali.
Proto je poměr jejich celkových drah, které uplavali do prvního setkání, a poměr jejich rychlostí shodný.
Pro poměr rychlostí obou plavců platí:
\[\frac{v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{k}}\,=\,\frac{x-s}{x+s} \,.\tag{1}\]Při druhém setkání plavců (v čase t´) už Karel uplaval dvě celé délky bazénu a ještě jednu n-tinu bazénu, tedy:
\[v_\mathrm{k}t^{,}\,=\,2x\,+\,\frac{1}{n}x\,.\]Petr zatím uplaval jen jednu délku bazénu a část délky bazénu, ve které se setkal s Karlem (protože Karel uplaval \(\frac{1}{n}\) bazénu, Petr musel uplavat \(\frac{n-1}{n}\) bazénu):
\[v_\mathrm{p}t^{,}\,=\,x\,+\,\frac{n-1}{n}x\,.\]Pro poměr rychlostí obou plavců platí:
\[\frac{v_\mathrm{p}}{v_\mathrm{k}}\,=\,\frac {x\,+\,\frac{n-1}{n}x}{2x\,+\,\frac{1}{n}x}\,=\,\frac{1\,+\,\frac{n-1}{n}}{2\,+\,\frac{1}{n}}\,=\,\frac{2n-1}{2n+1}\,.\tag{2}\]Srovnáním vztahů (1) a (2) dostáváme:
\[\frac{x-s}{x+s} = \frac{2n-1}{2n+1}\,.\]Upravíme:
\[\left( x-s \right)\left(2n+1\right) \,=\, \left(x+s\right)\left(2n-1\right)\,,\] \[2nx\,-\,2ns\,+\,x\,-\,s \,=\, 2nx\,+\,2ns\,-\,x\,-\,s\,,\] \[2x \,=\, 4ns\,. \]Odtud:
\[x=2ns\,.\]Číselně:
\[x\,=\,(2 {\cdot} 5 \cdot 5)\,\mathrm{m}\,=\,50\,\mathrm{m}\,.\]Odpověď
Délka bazénu je x = 2ns = 50 m.
