Zahradní hadice

Úloha číslo: 133

Proudem vody tryskajícím ze zahradní hadice počáteční rychlostí o velikosti 15 m·s−1 chceme dostříknout co nejvýše na svislou stěnu, která se nachází ve vodorovné vzdálenosti 10 m od ústí hadice.

a) Jak velký elevační úhel musíme zvolit?

b) Do jaké výšky na stěnu voda dostříkne?

c) Pod jakým úhlem dopadne voda na stěnu? Určete odchylku vektoru okamžité rychlosti v okamžiku dopadu od vodorovného směru.

Odpor vzduchu zanedbejte.

  • Zápis

    v0 = 15 m·s−1 počáteční rychlost proudu vody
    d = 10 m vzdálenost stěny od ústí hadice
    α = ? (°) elevační úhel
    h = ? (m) maximální výška dostřiku vody
    ψ = ? (°) úhel, pod kterým dopadne voda na stěnu
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Rozbor

    Chceme-li zjistit, pod jakým úhlem α musíme namířit hadici, aby voda dostříkla co nejvýše, musíme si nejprve vyjádřit, jak závisí výška dostřiku h na úhlu α. Pak již hledáme maximum funkce h(α).

    Pozor na úvahu, že maximální výška dostřiku na zeď bude odpovídat maximální výšce vrhu pro daný úhel α. Uvědomte si, že vzdálenost zdi je pevně daná. Nakreslete si různé možnosti situace.

  • Nápověda 1 pro a): Obrázek situace, typ pohybu

    Nakreslete si obrázek situace. O jaký typ pohybu se jedná? Jak se bude s časem měnit x-ová a y-ová složka rychlosti vody? Jak se bude měnit x-ová a y-ová souřadnice?

  • Nápověda 2 pro a): Doba doletu vody ke stěně, výška dostřiku

    Jak dlouho poletí voda ke stěně pro daný úhel α? Jaká výška h dostřiku na stěnu odpovídá této době?

  • Nápověda 3 pro a): Elevační úhel α

    Potřebujete zjistit, pro jaký úhel α bude výška h dostřiku na stěnu maximální. Hledáte tedy maximum funkce h = h(α). Jak se to matematicky udělá?

  • Nápověda 4 pro b): Maximální výška dostřiku vody

    Znáte úhel pro maximální výšku dostřiku a závislost výšky h dostřiku na stěnu na úhlu α. Maximální výšku již snadno dopočítáte.

  • Nápověda 5 pro c): Úhel ψ dopadu vody na stěnu

    Dokreslete si do obrázku vektor rychlosti vody v okamžiku dopadu na stěnu a jeho složky ve směru osy x a y. Příslušný úhel s jejich pomocí snadno vyjádříte. Hodnoty obou složek rychlosti v okamžiku dopadu na stěnu určíte s pomocí vztahu (1) a (2) z Nápovědy 1.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    a) elevační úhel

    Obrázek 1:

    Zvolení soustavy souřadnic

    Počátek vztažné soustavy zvolíme v ústí hadice.

    Jedná se o šikmý vrh.

     

    X-ová a y-ová složka rychlosti vody a x-ová a y-ová souřadnice se s časem mění následujícím způsobem:

    \[v_x\,=\,v_0\,\cos\alpha,\tag{1}\] \[v_y\,=\,v_0\,\sin\alpha\,-\,gt,\tag{2}\]

     

    \[x\,=\,v_0t\,\cos\alpha,\tag{3}\] \[y\,=\,v_0t\,\sin\alpha\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}.\tag{4}\]

    Pro dobu letu vody a pro výšku místa dopadu na stěnu platí vztahy:   \(x\,=\,d.\)

    Pak z (3):

    \[d\,=\,v_0t\,\cos\alpha,\] \[t\,=\,\frac{d}{v_0\,\cos\alpha},\tag{5}\]

     

    \[y\,=\,h.\]

    Pak z (4):

    \[h\,=\,v_0t\,\sin\alpha\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}.\]

    Dosadíme za t z (5):

    \[h\,=\,d\,\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}\,\cos^{2}\alpha}\,=\,d\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}}\,\left(1\,+\,\mathrm{tg}^{2}\alpha \right).\tag{6}\]

    Potřebujeme zjistit, pro jaký úhel α bude výška h dostřiku vody maximální, neboli hledáme extrém funkce h = h(α).

    Zjistíme, kdy je derivace funkce h podle α rovna nule:

    \[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}\alpha}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\left(d\,\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}\,\cos^{2}\alpha}\right),\] \[\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}\alpha}\,=\,\frac{d}{\cos^{2}\alpha}\,-\,\frac{gd^{2}\sin\alpha}{v_0^{2}\cos^{3}\alpha}\,=\,\frac{d}{\cos^{2}\alpha}\left(1\,-\,\frac{gd}{v_0^{2}}\,\mathrm{tg}\alpha\right)\,=\,0,\] \[1\,-\,\frac{gd}{v_0^{2}}\,\mathrm{tg}\alpha \,=\, 0,\] \[\mathrm{tg}\alpha\,=\,\frac{v_0^{2}}{gd}.\tag{7}\]

    Pro elevační úhel \[\alpha\,=\,\mathrm{arctg}\,\frac{v_0^{2}}{gd},\] dosáhne tedy funkce h(α) maxima.

     

    Pro zadané hodnoty:

    \[\mathrm{tg}\alpha\,=\,\frac{15^{2}}{9{,}81{\cdot}10} \,\dot=\, 2{,}294,\] \[\alpha\,=\,\mathrm{arctg}\,2{,}294\,\,\dot=\,\,66{,}4^{\circ}.\]

     

    b) Výška dostřiku

    Víme, že pro výšku místa dopadu na stěnu platí podle vztahu (6):

    \[h\,=\,d\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,=\,d\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}}\left(1\,+\,\mathrm{tg}^{2}\alpha\right)\,.\tag{6}\]

    Dále víme, že výška h dostřiku na stěnu bude maximální pro úhel α, pro který platí podle vztahu (7):

    \[\mathrm{tg}\alpha\,=\,\frac{v_0^{2}}{gd}\,.\tag{7}\]

     

    Dosazením vztahu (7) do vztahu (6) dostaneme:

    \[h\,=\,\frac{dv_0^{2}}{gd}\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}}\left(1\,+\,\frac{v_0^{4}}{g^{2}d^{2}}\right)\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}}\,.\]

    Číselně:

    \[h\,=\,\left(\frac{15^{2}}{2{\cdot}9{,}81}\,-\,\frac{9{,}81{\cdot}10^{2}}{2{\cdot}15^{2}}\right)\,\mathrm{m},\] \[h\,\dot=\,9{,}29\,\mathrm{m}.\]

     

    c) odchylka ψ vektoru rychlosti dopadající vody od vodorovného směru

    Do obrázku vyznačíme vektor rychlosti dopadající vody, jeho složky a hledaný úhel.

     

    Rozložení rychlosti na složky

    Odchylku ψ rychlosti dopadu od vodorovného směru určíme ze vztahu:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{v_y}{v_x}\,.\]

    Za vx a vy dosadíme ze vztahů (1) a (2), za čas t pak ze vztahu (5):

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\frac{v_0\,\sin\alpha\,-\,gt}{v_0\cos\alpha}\,=\,\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{gd}{v_0^{2}\cos^{2}\alpha}\,.\]

    Upravíme pomocí vztahu (7):

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha\cos^{2}\alpha}\] \[\mathrm{tg}\psi\,=\,\mathrm{tg}\alpha\,-\,\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\,=\,\frac{\sin^{2}\alpha\,-\,1}{\sin\alpha\cos\alpha}\,=\,-\,\frac{1}{tg\alpha}\,=\, -\,\frac{gd}{v_0^{2}}.\]

     

    Číselně:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,-\frac{9{,}81{\cdot}10}{15^{2}} \,\dot=\, -0{,}436,\] \[\psi\,\dot=\,-\,23{,}6^{\circ}.\]

    Odchylka ψ rychlosti dopadu od vodorovného směru vyšla záporná (odčítáme velikost po směru hodinových ručiček). Podívejte se na obrázek.

     

    Poznámka:

    Pozor na úvahu, že při maximální výšce dostřiku na stěnu bude y-ová složka rychlosti nulová a tedy i úhel φ nulový. V úloze je pevně daná vzdálenost stěny a tím pro daný úhel i doba letu vody.

  • Odpověď

    a) Abychom dostříkli proudem vody co nejvýše na svislou stěnu, musíme zvolit elevační úhel α , pro který platí:

    \[\alpha\,=\,\mathrm{arctg}\,\frac{v_0^{2}}{gd}\,\dot=\,66{,}4^{\circ}\,.\]

    b) Voda dostříkne do výšky h, pro kterou platí:

    \[h\,=\,\frac{v_0^{2}}{2g}\,-\,\frac{gd^{2}}{2v_0^{2}}\,\dot=\,9{,}29\,\mathrm{m}\,.\]

    c) Voda na stěnu dopadne pod úhlem ψ , pro který platí:

    \[\mathrm{tg}\psi\,=\,-\,\frac{gd}{v_0^{2}}\,.\]

    Pro zadané hodnoty:

    \[\psi\,=\,-\,23{,}6^{\circ}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze