Bruslař

Úloha číslo: 152

Bruslař o hmotnosti 70 kg stojí na bruslích na hladkém ledu. Do pohybu se uvede tím, že ve vodorovném směru odhodí před sebe kouli o hmotnosti 3 kg rychlostí o velikosti 8 m·s-1. Do jaké vzdálenosti bruslař po odhození koule odjede? Součinitel tření mezi ledem a bruslemi je 0,02.

  • Zápis

    M = 70 kg hmotnost bruslaře
    m = 3 kg hmotnost koule
    v1 = 8 m·s-1 rychlost odhozené koule
    f = 0,02 součinitel mezi ledem a bruslemi
    sz = ? (m) vzdálenost, do které bruslař po odhození koule odjede
  • Rozbor

    Nejprve zjistíme, jakou rychlostí se bude pohybovat bruslař po odhození koule. Využijeme k tomu zákon zachování hybnosti (ZZH). Pak nám bude zbývat vyřešit, jaká je dráha zastavení bruslaře, působí-li na něj konstantní brzdná síla. Vyjít můžeme buď ze zákona zachování energie nebo z Newtonových zákonů.

  • Nápověda 1 - hybnost soustavy bruslař+koule

    Co můžete říct o hybnosti soustavy bruslař+koule před a bezprostředně po odhození koule? Nakreslete si obrázek situace. Jakým směrem se bude pohybovat bruslař a jakým koule?

  • Nápověda 2 - pohyb bruslaře, práce třecí síly

    Jaký pohyb vykonává bruslař, působí-li na něho třecí síla? Jakou práci vykoná třecí síla během brzdění bruslaře? Čemu je tato práce rovna? Co se stane s počáteční kinetickou energii bruslaře?

  • Číselný výpočet

    Dáno:

    \[m\,=\,3\,\mathrm{kg},\] \[M\,=\,70\,\mathrm{kg},\] \[v_1\,=\,8\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[f\,=\,0{,}02,\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]

    Hledáme:

    \[s_z\,=\,?,\] \[s_z\,=\,\frac{m^2v_1^2}{2fM^2g},\] \[s_z\,=\,\frac{3^2{\cdot}8^2}{2{\cdot}0{,}02{\cdot}70^2{\cdot}9{,}81}\,\mathrm{m},\] \[s_z\,=\,0{,}3\,\mathrm{m}.\]
  • Odpověď

    Bruslař odjede do vzdálenosti \(s_z\,=\,\frac{m^2v_1^2}{2fM^2g}\,=\,0{,}3\,\mathrm{m}.\)

  • Celkové řešení

    Nejprve zjistíme, jakou rychlostí se bude pohybovat bruslař po odhození koule. Využijeme k tomu zákon zachování hybnosti (ZZH). Pak nám bude zbývat vyřešit, jaká je dráha zastavení bruslaře, působí-lí na něj konstantní brzdná síla. Vyjít můžeme buď ze zákona zachování energie nebo z Newtonových zákonů.

    Bruslař s koulí

    \(m\)…hmotnost koule

    \(M\)…hmotnost bruslaře

    \(\vec{v_1}\)…vektor rychlosti koule po odhození

    \(\vec{v_2}\)…vektor rychlosti bruslaře po odhození koule

    Počáteční hybnost soustavy bruslař+koule je nulová, proto podle zákona zachování hybnosti musí být celková hybnost soustavy po odhození předmětu rovněž nulová. Bruslař se bude po odhození koule pohybovat opačným směrem než koule.

    Platí:

    \[\vec{p_1}+\vec{p_2}\,=\,0,\]

    \(\vec{p_1}\)…vektor hybnosti koule po odhození,

    \(\vec{p_2}\)…vektor hybnosti bruslaře po odhození koule,

    \[m\vec{v_1}+M\vec{v_2}\,=\,0.\]

    Protože vektory rychlostí leži v přímce, můžeme tuto rovnici napsat skalárně:

    \[mv_{1}-Mv_{2}\,=\,0.\]

    Odtud dostaneme velikost rychlosti bruslaře po odhození koule:

    \[v_{2}\,=\,\frac{mv_{1}}{M}.\tag{1}\]

    Na bruslaře působí proti směru jeho pohybu stálá třecí síla:

    \[F_t\,=\,Mgf,\tag{2}\]

    \(F_t\)…třecí síla,

    \(f\)…koeficient tření,

    \(g\)…tíhové zrychlení.

    Proto se bruslař pohybuje rovnoměrným zpomaleným pohybem.

    Třecí síla vykoná během brzdění na dráze sz práci:

    \[W\,=\,F_ts_z,\]

    \(W\)…práce třecí síly,

    \(s_z\)…dráha, kterou ujede bruslař do zastavení.

    Tato práce je rovna počáteční kinetické energii bruslaře:

    \[W\,=\,E_k,\]

    Ek…počátečná kinetická energie bruslaře.

    \[F_ts_z\,=\,\frac{1}{2}Mv_2^2,\] \[Mgfs_z\,=\,\frac{1}{2}Mv_2^2,\] \[s_z\,=\,\frac{Mv_2^2}{2Mfg}\,=\,\frac{v_2^2}{2fg}.\]

    Ze vztahu (1) dosadíme rychlost v2:

    \[s_z\,=\,\frac{m^2v_1^2}{2fM^2g},\] \[s_z\,=\,\frac{3^2{\cdot}8^2}{2{\cdot}0{,}02{\cdot}70^2{\cdot}9{,}81}\,\mathrm{m},\] \[s_z\,=\,0{,}3\,\mathrm{m}.\]

    Počáteční kinetická energie bruslaře se během brzdění přemění na vnitřní energii bruslí a ledu, což se projeví jejich zahřátím.

    Odpověď:Bruslař odjede do vzdálenosti \(s_z\,=\,0{,}3\,\mathrm{m}\).

    Poznámka:

    Dráhu zastavení můžeme zjistit také s využitím 2. Newtonova zákona a kinematických vztahů pro rovnoměrný zpomalený pohyb.

    Pohybová rovnice pro bruslaře:

    \[\vec{F_t}+\vec{N}+\vec{F_g}\,=\,M\vec{a},\]

    \(\vec{F_t}\)…třecí síla,

    \(\vec{N}\)…síla, kterou působí led na bruslaře,

    \(\vec{F_g}\)…tíhová síla,

    \(M\)…hmotnost bruslaře,

    \(\vec{a}\)…zrychlení bruslaře.

    Skalárně:

    \[-F_t\,=\,Ma,\] \[N-F_g\,=\,0.\]

    Vyjádříme si zrychlení bruslaře a:

    \[a\,=\,\frac{-F_t}{M}\,=\,-gf.\]

    Integrací zrychlení bruslaře dostaneme závislost rychlosti bruslaře na čase po odhození koule:

    \[v\,=\,\int{a\mathrm{d}t}\,=\, -gft + K.\tag{3}\] Konstantu K zjistíme z počátečních podmínek. V čase t = 0 s měl bruslař rychlost v = v2 a tedy: \[v_2 \,=\, 0 + K,\] \[v \,=\, v_2-gft.\]

    Integrací rychlosti bruslaře získáme závislot dráhy bruslaře na čase:

    \[s\,=\,\int{v\mathrm{d}t}\,=\,\int{(v_2-gft)\mathrm{d}t}\,=\,v_2t-\frac{1}{2}gft^2+C.\]

    Konstantu C zjistíme z počátečních podmínek. V čase t = 0 s byla uražená dráha s = 0 m a tedy:

    \[0\,=\,0+C,\] \[s\,=\,v_2t-\frac{1}{2}gft^2.\]

    V okamžiku zastavení tz je v = 0:

    \[0\,=\,v_2-gft_z.\]

    Odsud si vyjádříme čas zastavení tz:

    \[t_z\,=\,\frac{v_2}{gf}.\]

    Dráhu zastavení dostaneme dosazením času zastavení do vztahu pro dráhu s:

    \[s_z\,=\,v_2t_z-\frac{1}{2}gft_z^2,\] \[s_z\,=\,\frac{v_2^2}{gf}-\frac{v_2^2}{2gf},\] \[s_z\,=\,\frac{v_2^2}{2fg}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Bartuška, K.: Sbírka řešených úloh z fyziky I pro střední školy.
Prometheus, Praha, 2002
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Bartuška, K.: Sbírka řešených úloh z fyziky I pro střední školy. Prometheus, Praha, 2002
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze