Kostka
Úloha číslo: 87
Kostka o hmotnosti 100 kg je tažena stálou rychlostí o velikosti 5 m·s−1 po hladké podlaze silou F o velikosti 122 N. Síla svírá s podlahou úhel 37° a je orientována směrem vzhůru. Jaký je výkon síly F?
Zápis
m = 100 kg hmotnost kostky v = 5 m·s−1 rychlost, s jakou je kostka tažena F = 122 N síla táhnoucí kostku α = 37° úhel, který svírá vektor síly s vektorem posunutí P = ? výkon síly F Nápověda 1 – výkon
Co vyjadřuje výkon síly? Podle jakého vztahu ho můžete spočítat?
Nápověda 2 – práce konstantní síly
Nakreslete si obrázek situace.
Uvědomte si, jak se spočítá práce při působení konstantní síly.
Číselný výpočet
Je dáno:
\[m\,=\,100\, \mathrm{kg}\] \[v\,=\,5\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[F\,=\,122\,\mathrm{N}\] \[\alpha\,=\,37^{\circ}\]Hledáme:
\[P\,=\,?\,\mathrm{W}\]
\[P\,=\,F\cdot v\cdot\cos\alpha\] \[P\,=\,122\,\cdot\,5\,\cdot\,\cos37^{\circ}\,\mathrm{W}\] \[P\,=\,487\, \mathrm{W}\]Odpověď
Výkon síly F je roven \(P\,=\,F\cdot v\cdot\cos\alpha\,=\,487\, W\).
Celkové řešení
Výkon síly je „rychlost“, s jakou tato síla koná práci.
Vykoná-li síla F práci ΔW za dobu Δt, je její průměrný výkon v daném časovém intervalu definován poměrem
\[\bar{P}\,=\,\frac {\mathrm{\Delta} W} {\mathrm{\Delta} t}\,. \]Okamžitý výkon odpovídá „okamžité rychlosti“ konání práce a je tedy limitním případem průměrného výkonu pro \(\mathrm{\Delta} t\rightarrow 0\):
\[P\,=\,\frac {\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\,.\]P … výkon
W … vykonaná práce
t … čas, za který byla práce vykonána
Pro práci W, kterou vykoná konstantní síla \(\vec {F}\) působící na těleso při jeho posunutí \( \vec {s}\), platí:
\[W\,=\,\vec{F}\cdot\vec{s}\,,\](\(\vec{F}\cdot \vec{s}\) … skalární součin vektorů \(\vec {F}\) a \( \vec {s}\))
\[W\,=\,Fs\cos\alpha\,.\]W … práce, kterou vykoná síla F
\(\vec{F}\)… vektor síly působící na těleso
\(\vec{s}\)… vektor posunutí
α… úhel, který svírá vektor síly s vektorem posunutí
Dosadíme práci do vztahu pro výkon síly P a dostaneme:
\[P\,=\,\frac{\mathrm{d}F\,s\,\cos\alpha}{\mathrm{d}t}\,.\]Dále platí, že síla F a úhel \(\alpha\) nezávisí na čase. Proto je můžeme vytknout před derivaci:
\[P\,=\,F\cos\alpha\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,.\]Časová derivace posunutí (dráhy) je rychlost, jakou se těleso pohybuje, takže dostaneme:
\[P\,=\,Fv\cos\alpha,\] \[P\,=\,122\,\cdot\,5\,\cdot\,\cos37^{\circ}\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,487\, \mathrm{W}.\]Odpověď: Výkon síly F je roven \(P\,=\,487\, \mathrm{W}\).
