Kostka

Úloha číslo: 87

Kostka o hmotnosti 100 kg je tažena stálou rychlostí o velikosti 5 m·s−1 po hladké podlaze silou F o velikosti 122 N. Síla svírá s podlahou úhel 37° a je orientována směrem vzhůru. Jaký je výkon síly F?

  • Zápis

    m = 100 kg hmotnost kostky
    v = 5 m·s−1 rychlost, s jakou je kostka tažena
    F = 122 N síla táhnoucí kostku
    α = 37° úhel, který svírá vektor síly s vektorem posunutí
    P = ? výkon síly F
  • Nápověda 1 – výkon

    Co vyjádřuje výkon síly? Podle jakého vztahu ho můžete spočítat?

  • Nápověda 2 – práce konstantní síly

    Nakreslete si obrázek situace.

    Uvědomte si, jak se spočítá práce při působení konstantní síly.

  • Číselný výpočet

    Je dáno:

    \[m\,=\,100\, \mathrm{kg}\] \[v\,=\,5\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\] \[F\,=\,122\,\mathrm{N}\] \[\alpha\,=\,37^{\circ}\]

    Hledáme :

    \[P\,=\,?\,\mathrm{W}\]
    \[P\,=\,F\cdot v\cdot\cos\alpha\] \[P\,=\,122\,\cdot\,5\,\cdot\,\cos37^{\circ}\,\mathrm{W}\] \[P\,=\,487\, \mathrm{W}\]
  • Odpověď

    Výkon síly F je roven \(P\,=\,F\cdot v\cdot\cos\alpha\,=\,487\, W\).

  • Celkové řešení

    Výkon síly je „rychlost“ s jakou tato síla koná práci.

    Vykoná-li síla F práci ΔW za dobu Δt, je její průměrný výkon v daném časovém intervalu definován poměrem:

    \[\bar{P}\,=\,\frac {\mathrm{\Delta} W} {\mathrm{\Delta} t}\,. \]

    Okamžitý výkon odpovídá „okamžité rychlosti“ konání práce a je tedy limitním případem průměrného výkonu pro \(\mathrm{\Delta} t\rightarrow 0\):

    \[P\,=\,\frac {\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\,.\]

    P … výkon

    W … vykonaná práce

    t … čas, za který byla práce vykonána

    Kostka

    Pro práci W, kterou vykoná konstantní síla \(\vec {F}\) působící na těleso při jeho posunutí \( \vec {s}\), platí:

    \[W\,=\,\vec{F}\cdot\vec{s}\,,\]

    (\(\vec{F}\cdot \vec{s}\) … skalární součin vektorů \(\vec {F}\) a \( \vec {s}\))

    \[W\,=\,Fs\cos\alpha\,.\]

    W … práce, kterou vykoná síla F

    \(\vec{F}\)… vektor síly, působící na těleso

    \(\vec{s}\)… vektor posunutí

    α… úhel, který svírá vektor síly s vektorem posunutí

    Dosadíme práci do vztahu pro výkon síly P a dostaneme:

    \[P\,=\,\frac{\mathrm{d}F\,s\,\cos\alpha}{\mathrm{d}t}\,.\]

    Dále platí, že síla F a úhel \(\alpha\) nezávisí na čase. Proto je můžeme vytknout před derivaci:

    \[P\,=\,F\cos\alpha\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,.\]

    Časová derivace posunutí (dráhy), je rychlost, jakou se těleso pohybuje, takže dostaneme:

    \[P\,=\,Fv\cos\alpha,\] \[P\,=\,122\,\cdot\,5\,\cdot\,\cos37^{\circ}\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,487\, \mathrm{W}.\]

    Odpověď: Výkon síly F je roven \(P\,=\,487\, \mathrm{W}\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Původní zdroj: Halliday,D., Resnick,R., Walker,J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice
obecné fyziky. VUTIUM, Brno 2000
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Halliday,D., Resnick,R., Walker,J.: Fyzika. Vysokoškolská učebnice obecné fyziky. VUTIUM, Brno 2000
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze