Řetízkový kolotoč

Úloha číslo: 203

Řetízkový kolotoč o poloměru 5 m se otáčí úhlovou rychlostí 1 rad·s−1. Náhle se utrhne prázdná sedačka o hmotnosti 1,5 kg a padá z výšky 3 m.

Kterým směrem a jak daleko dopadne?

  • Zápis

    r = 5 m poloměr kolotoče
    ω = 1 rad·s−1 úhlová rychlost otáčení kolotoče
    m = 1,5 kg hmotnost sedačky
    h = 3 m výška, ze které sedačka padá
    d = ? (m) vzdálenost, do které sedačka dopadne
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1

    Jaký pohyb vykonává sedačka před utržením? Jaký je v každém okamžiku směr její rychlosti? Jaké na ni působí síly? Řešte z pohledu inerciálního pozorovatele spojeného se zemí.

  • Nápověda 2

    Jak se změní sílové působení v okamžiku utržení sedačky? Jakým směrem sedačka „odletí“?

  • Nápověda 3

    Sedačka se bezprostředně po utržení pohybuje ve směru tečny k původně opisované kružnici a její další pohyb ovlivňuje pouze tíhová síla - jde tedy o složení rovnoměrného přímočarého pohybu a volného pádu. Jaký druh pohybu v tomto popisu poznáváte?

  • Nápověda 4

    Jak je poloha tělesa při tomto pohybu popsána v závislosti na čase? Vyjádřete průběh x-ové a y-ové souřadnice.

  • Nápověda 5

    Jakou velikost má počáteční rychlost v0? Má nějaký vztah k rychlosti, se kterou se sedačka pohybovala po kružnici před utržením?

  • Nápověda 6

    Nalézt vzdálenost, do které sedačka dopadne, znamená spočítat délku d vodorovného vrhu. Jakou velikost bude mít x-ová a y-ová souřadnice na konci vrhu v čase tk? Dosaďte do rovnic (1a) a (1b) a vyjádřete délku vrhu d.

  • Celkové řešení

    Protože kolotoč se otáčí se stálou úhlovou frekvencí ω, vykonává sedačka rovnoměrný pohyb po kružnici ve vodorovné rovině. Pro takový pohyb platí, že vektor rychlosti sedačky má v každém okamžiku v každém bodě směr tečny k opisované kružnici.

    Při tomto pohybu působí na sedačku z pohledu inerciálního pozorovatele spojeného se zemí dvě síly (viz obrázek):

    - tíhová síla Země \(\vec{F}_G,\)

    - tahová síla závěsu \(\vec{F}_z.\)

    Síly působící na sedačku a jejich výslednice Fd

    Výslednicí těchto sil je síla dostředivá síla \(\vec{F}_d\,=\,\vec{F}_G\,+\,\vec{F}_z\), která zakřivuje trajektorii sedačky ve vodorovné rovině a je příčinou pohybu po kružnici.

    Když se sedačka utrhne, náhle zmizí síla závěsu \(\vec{F}_z\) a s ní také síla dostředivá. Tato síla pohyb sedačky ve vodorovné rovině zakřivovala, takže po jejím vymizení se sedačka bude pohybovat dále ve směru, který měla její rychlost v okamžiku utržení. Sedačka tedy odletí ve směru tečny k původně opisované kružnici v bodě, kde se utrhla.

    Jedinou silou, která bude na sedačku dále působit, je tíhová síla Země. Pohyb se tedy bude dále skládat z rovnoměrného přímočarého pohybu a volného pádu. Takovému pohybu říkáme vodorovný vrh, zde s počáteční výškou h a nějakou počáteční rychlostí v0. Tento vodorovný vrh je popsán vztahy:

    \[x(t)\,=\,v_0t,\tag{1a}\]

    \[y(t)\,=\,h-\frac{1}{2}gt^2,\tag{1b}\]

    kde g je tíhové zrychlení.

    (Tyto rovnice odpovídají volbě počátku soustavy souřadnic v bodě ležícím na zemi svisle pod místem, kde se sedačka utrhla.)

    Počáteční rychlost v0 vodorovného vrhu je rovna rychlosti, kterou měla sedačka v okamžiku, kdy se utrhnula. Jde tedy o rychlost, se kterou se sedačka pohybovala rovnoměrným pohybem po kružnici. Této rychlosti říkáme obvodová rychlost a platí pro ni vztah:

    \[v_0\,=\,\omega r,\tag{2}\]

    kde ω je úhlová rychlost a r je poloměr opisované kružnice.

    Po uplynutí doby vodorovného vrhu tk dopadne sedačka na zem (takže její y-ová souřadnice bude nulová) do vzdálenosti d (takže její x-ová souřadnice bude rovna d). S použitím této znalosti a dosazením z rovnice (2) do rovnic (1a) a (1b) dostáváme pro souřadnice:

    \[x(t_k)\,=\,d\,=\,\omega rt_k,\] \[y(t_k)\,=\,0\,=\,h-\frac{1}{2}gt_k^2.\]

    Ze druhé rovnice vyjádříme tk:

    \[t_k\,=\,\sqrt{\frac{2h}{g}}.\]

    Délka vrhu (a tedy vzdálenost, do které sedačka odletí) je z první rovnice dána vztahem:

    \[d\,=\,\omega rt_k\,=\,\omega r\sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Po dosazení číselných hodnot: \[d\,=\,\omega r\sqrt{\frac{2h}{g}}\,=\,(1{\cdot}5\cdot\sqrt{\frac{2{\cdot}3}{9{,}81}})\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,3{,}9\,\mathrm{m}.\]

    Je zajímavé si povšimnout, že tato vzdálenost nezáleží na hmotnosti sedačky.

  • Výsledek

    Sedačka odletí ve směru tečny ke kružnici v místě, kde se utrhla. Dopadne ve vzdálenosti: \(d\,=\,\omega r \sqrt{\frac{2h}{g}}\,\dot{=}\,3{,}9\,\mathrm{m}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Komplexní úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze