Balistické kyvadlo 2

Úloha číslo: 147

Sřela o hmotnosti 4 g vletí do balistického kyvadla vodorovně rychlostí o velikosti 600 m·s-1. Kyvadlo má hmotnost 1 kg a tloušťku 25 cm. Střela jím proletí a vystoupí rychlostí o velikosti 100 m·s-1. Vypočítejte velikost konstantní síly, která střelu v kyvadle brzdí, a výšku, do které kyvadlo vystoupí.

Poznámka: Balistické kyvadlo se dříve užívalo k měření rychlosti střel. Může ho tvořit např. dřevěný hranol zavěšený na dvou dlouhých závěsech tak, aby kýval jen ve svislé rovině.

  • Zápis

    m = 4 g = 0,004 kg hmotnost střely
    v0 = 600 m·s-1 vstupní rychlost střely
    v1 = 100 m·s-1 výstupní rychlost střely
    M = 1 kg hmotnost kyvadla
    d = 25 cm = 0,25 m tloušťka kyvadla
    h = ? (m) výška, do které kyvadlo vystoupí
    F = ? (N) velikost konstantní síly, která střelu v kyvadle brzdí
  • Rozbor

    Při řešení budeme předpokládat, že střela pronikne kyvadlem velmi rychle, a nebudeme uvažovat její odchylku od původního směru pohybu. Při řešení využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

  • Nápověda 1 - ZZH

    Nakreslete si obrázek situace a napište ZZH pro soustavu střela a kyvadlo.

  • Nápověda 2 - ZZE

    Napište ZZE pro soustavu střela a kyvadlo. Porovnejte energii v situaci těsně před nárazem střely do kyvadla a v situaci těsně poté, co střela opustí kyvadlo.

  • Nápověda 3 - ZZE pro kyvadlo

    Napište, jaká je mechanická energie kyvadla bezprostředně poté, co ho opustí střela a jaká v nejvyšším bodě, do kterého vykývne.

  • Nápověda 4 - brzdící síla a výška vystoupání kyvadla

    K vyjádření brzdící síly a výšky, do které kyvadlo vystoupí využijte rovnice (1), (4) a (5).

  • Číselný výpočet

    Je dáno:

    \[m\,=\,4\,\mathrm{g}\,=\,0{,}004\, \mathrm{kg},\] \[v_0\,=\,600\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v_1\,=\,100\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m\cdot s^{-2}},\] \[d\,=\,25\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}25\,\mathrm{m},\] \[M\,=\,1\,\mathrm{kg}.\]

    Hledáme:

    \[h\,=\,?,\] \[F\,=\,?,\] \[h\,=\,\frac {m^2\left(v_0-v_1\right)^2}{2gM^2},\] \[h\,=\,\frac {0{,}004^2\cdot\left(600-100\right)^2}{2{\cdot}9{,}81{\cdot}1^2}\,\mathrm{m},\] \[h\,=\,0{,}2\, \mathrm{m},\] \[F\,=\,\frac {m}{2d}\left[v_0^2-v_1^2-\frac {m}{M}\left(v_0-v_1\right)^2\right],\] \[F\,=\,\frac {0{,}004}{2{\cdot}0{,}25}[600^2-100^2-\frac {0{,}004}{1}\left(600-100\right)^2]\, \mathrm{N},\] \[F\,=\,2792\,\mathrm{N}\,\dot{=}\,2{,}8\, \mathrm{kN}.\]
  • Celkové řešení

    Při řešení budeme předpokládat, že střela pronikne kyvadlem velmi rychle, a nebudeme uvažovat její odchylku od původního směru pohybu. Při řešení využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

    Balistické kyvadlo

    \(\vec{F}\).…konstantní brzdící síla

    \(h\)…výška, do které kyvadlo vystoupí

    \(m\)…hmotnost střely

    \(M\)…hmotnost kyvadla

    \(\vec{v_0}\)…rychlost střely před proniknutím

    \(\vec{v_1}\)…rychlost střely po proniknutí

    \(\vec{v}\)…rychlost kyvadla po proniknutí střely

    \[\mathrm{ZZH:}\hspace{15px} \vec{p_s}+\vec{p_k}\,=\,\vec{p_s^{'}}+\vec{p_k^{'}}\]

    \(\vec{p_s}\)…hybnost střely před nárazem do kyvadla

    \(\vec{p_k}\)…hybnost kyvadla před nárazem střely

    \(\vec{p_s^{'}}\)…hybnost střely bezprostředně po průniku kyvadlem

    \(\vec{p_k^{'}}\)…hybnost kyvadla bezprostředně po průniku střely

    \[m\vec{v_0}+0\,=\,m\vec{v_1}+M\vec{v}\]

    Skalárně:

    \[mv_0\,=\,mv_1+Mv.\tag{1}\]

    Při zasažení kyvadla střelou se část kinetické energie střely promění na vnitřní energii kyvadla a střely, část na kinetickou energii střely po proniknutí a část na kinetickou energii kyvadla. Tedy:

    \[\mathrm{ZZE:}\hspace{15px}\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv^2+\Delta U,\tag{2}\]

    \(\Delta U\)…změna vnitřní energie.

    Změna vnitřní energie je rovna práci brzdící síly F na dráze d:

    \[\Delta U\,=\,Fd,\tag{3}\]

    \(d\)…tloušťka kvádru.

    Ve vztahu (2) dosadíme za změnu vnitřní energie vztah (3):

    \[\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv^2+Fd.\tag{4}\]

    Kinetická energie kyvadla, kterou má poté, co ho opustí střela, se přemění na potenciální energii.

    \[E_k\,=\,E_p\]

    \(E_k\)…kinetická energie kyvadla po proniknutí střely

    \(E_p\)…potenciální energie kyvadla v nejvyšším bodě

    \[\frac{1}{2}Mv^2=Mgh\tag{5}\]

    \(g\)…tíhové zrychlení

    Z rovnice (1) vyjádříme rychlost kyvadla:

    \[mv_0\,=\,mv_1+Mv,\tag{1}\] \[v\,=\,\frac{m\left(v_0-v_1\right)}{M}.\tag{6}\]

    Dosadíme ji do vztahu (5):

    \[\frac{1}{2}Mv^2\,=\,Mgh,\] \[\frac{1}{2}M\frac{m^2\left(v_0-v_1\right)^2}{M^2}\,=\,Mgh,\]

    a vyjádříme výšku h, do které kyvadlo vystoupí.

    \[h\,=\,\frac{m^2\left(v_0-v_1\right)^2}{2M^2g},\] \[h\,=\,\frac {0{,}004^2\cdot\left(600-100\right)^2}{2{\cdot}9{,}81{\cdot}1}\,\mathrm{m},\] \[h\,=\,0{,}2\, \mathrm{m}.\]

    Brzdící sílu vyjádříme ze vztahu (4):

    \[\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}Mv^2+Fd,\tag{4}\] \[F\,=\,\frac{1}{2d}mv_0^2-\frac{1}{2d}mv_1^2-\frac{1}{2d}Mv^2.\]

    Za rychlost v dosadíme ze vztahu (6)

    \[F\,=\,\frac{1}{2d}mv_0^2-\frac{1}{2d}mv_1^2-\frac{1}{2d}M\frac{m^2\left(v_0-v_1\right)^2}{M^2},\] \[F\,=\,\frac {m}{2d}[v_0^2-v_1^2-\frac {m}{M}\left(v_0-v_1\right)^2],\] \[F\,=\,\frac {0{,}004}{2{\cdot}0{,}25}[600^2-100^2-\frac {0{,}004}{1}\left(600-100\right)^2]\, \mathrm{N},\] \[F\,=\,2792\,\mathrm{N}\,\dot{=}\,2{,}8\, \mathrm{kN}.\]

    Odpověď:

    Kyvadlo se vychýlí do výšky \(h\,=\,0{,}2\,\mathrm{m}\).

    Brzdící síla, která na střelu v kyvadle působí, je \(F\,=\,2792\,\mathrm{N}\,\dot{=}\,2{,}8\, \mathrm{kN}\).

  • Odpověď

    Kyvadlo se vychýlí do výšky \[h\,=\,\frac {m^2\left(v_0-v_1\right)^2}{2gM^2}\,=\,0{,}2\,\mathrm{m}.\]

    Brzdící síla, která na střelu v kyvadle působí, je \[F\,=\,\frac {m}{2d}[v_0^2-v_1^2-\frac {m}{M}\left(v_0-v_1\right)^2]\,=\,2792\,\mathrm{N}\,\dot{=}\,2{,}8\, \mathrm{kN}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze