Plavba voru

Úloha číslo: 125

Vor pluje přes řeku stálou rychlostí o velikosti w vzhledem k vodě kolmo na její proud. Šířka řeky je d. Předpokládejte, že voda unáší vor tak, že složka rychlosti voru vyvolaná proudící vodou je kvadraticky rostoucí v závislosti na vzdálenosti od břehů. U břehů je nulová, ve středu řeky má maximální hodnotu u.

Určete průběh rychlosti \(\vec{v}(t)\) voru vzhledem ke břehu a průběh jeho polohy \(\vec{r}(t)\).

Jaká je poloha místa, ve kterém vor přistane u druhého břehu?

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Nakreslete si obrázek situace. Označte si v něm souřadné osy a pohyb voru si rozložte na dva pohyby, ve směru osy x (kolmo na proud) a ve směru osy y (po toku řeky).

    Nakreslete si i průběh složky rychlosti voru vy vyvolané proudící vodou.

  • Nápověda 2: Průběh rychlosti voru

    Vyjádřete si za pomoci obrázku z předchozí nápovědy složky rychlosti voru vx a vy.

    Jakou funkcí vyjádříte rychlost ve směru osy y?

  • Nápověda 3: Průběh polohy voru

    Znáte složky rychlosti voru. Z nich určete souřadnice voru a průběh jeho polohového vektoru.

  • Nápověda 4: Poloha místa přistání voru

    Potřebujete zjistit souřadnice místa, ve kterém vor na druhém břehu přistane. Šířku řeky znáte, takže i souřadnici x. Znáte také složky rychlosti voru. Vyjádřete si čas, za který vor přejede řeku. Pak můžete určit i jaká bude v tomto čase souřadnice y.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Obrázek 1 – situace:

    Obrázek celé situace

    Obrázek 2 – průběh složky rychlosti vyvolané proudící vodou:

    průběh složky rychlosti vyvolané proudící vodou

    Na obrázku 1 je vr velikost rychlosti proudu řeky, velikost rychlosti voru vzhledem ke břehům máme označenou v, složky rychlosti voru jsou vx, vy.

    Jedná se o skládání dvou pohybů (ve směru osy x a ve směru osy y).

     

    Průběh rychlosti voru

    Podle obrázků 1,2 platí:

    \[v_x\,=\,w,\tag{1}\] \[v_y\,=\,ax^{2}\,+\,bx\,+\,c.\tag{2}\]

    Průběh rychlosti voru ve směru osy y má tvar paraboly, popisuje ho kvadratická funkce.

     

    Určení konstant a, b, c :

    Na parabole leží body: \(\left[0,\,0\right],\) \(\left[\frac{d}{2},\,u\right],\) \(\left[d,\,0\right].\)

    Dosazením bodu [0, 0] dostaneme:

    \[c\,=\,0\,.\]

    Dosazením bodu \(\left[\frac{d}{2},\,u\right]\) dostaneme:

    \[a\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\,+\,b\frac{d}{2}\,=\,u\,.\tag{3}\]

    Dosazením bodu [d, 0] dostaneme:

    \[ad^{2}\,+\,bd\,=\,0\,.\tag{4}\]

    Řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých a,b:

    Z (4):

    \[a\,=\, -\frac{b}{d}\,.\]

    Dosadíme do (3):

    \[-\frac{bd^{2}}{4d} \,+\, \frac{bd}{2} \,=\, u,\] \[\frac{bd}{4} \,=\, u,\] \[b\,=\,\frac{4u}{d},\] \[a\,=\,-\frac{4u}{d^{2}}.\]

    Dosadíme za konstanty do (2):

    \[v_y \,=\, -\frac{4u}{d^{2}}x^{2}\,+\,\frac{4u}{d}x\,,\]

    kde z (1) \[x\,=\,wt\,,\]

    \[v_y\,=\,-\frac{4u}{d^{2}}w^{2}t^{2}\,+\,\frac{4u}{d}wt,\tag{5}\]

     

    \[\vec{v}(t)\,=\,v_x\vec{i} \,+\, v_y\vec{j},\] \[\vec{v}(t)\,=\,w\vec{i}\,+\,\left(\frac{4u}{d}wt\,-\,\frac{4u}{d^{2}}w^{2}t^{2}\right)\vec{j},\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    Průběh polohového vektoru voru

    Složky rychlosti voru jsou podle (1) a (5):

    \[v_x\,=\,w,\] \[v_y\,=\,-\frac{4u}{d^{2}}\,w^{2}t^{2}\,+\,\frac{4u}{d}\,wt.\]

     

    Souřadnice jsou pak:

    \[x\,=\, wt,\] \[y\,=\,\int{v_y}\,\mathrm{d}t\,=\,\int\left(-\frac{4u}{d^{2}}w^{2}t^{2}\,+\,\frac{4u}{d}wt\right)\,\mathrm{d}t\,=\, -\frac{4u}{3d^{2}}w^{2}t^{3}\,+\,\frac{4u}{2d}wt^{2}\,+\,k.\]

     

    Pro t = 0 s je y = 0 m, tedy k = 0:

    \[y \,=\, -\,\frac{4u}{3d^{2}}\,w^{2}t^{3}\,+\,\frac{2u}{d}\,wt^{2},\tag{6}\]

     

    \[\vec{r}(t)\,=\,x\vec{i}\,+\,y\vec{j}\,,\] \[\vec{r}(t)\,=\,wt\vec{i}\,+\,\left(\frac{2u}{d}\,wt^{2}\,-\,\frac{4u}{ 3d^{2}}\,w^{2}t^{3}\right)\vec{j}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    Místo přistání voru

    Vor se přes řeku dostane za čas \(t \,=\, \frac{d}{w}\) , neboť rychlostí w ve směru osy x má urazit vzdálenost d.

     

    Poloha místa, ve kterém vor přistane, má souřadnice:

    \[x\,=\,d\,.\]

    Souřadnice y v čase \(t \,=\, \frac{d}{w}\) bude podle (6):

    \[y \,=\, \frac{2uw}{d}t^{2}\,-\,\frac{4uw^{2}}{3d^{2}}t^{3} \,=\, \frac{2uw}{d}\,\frac{d^{2}}{w^{2}} \,-\,\frac{4uw^{2}}{3d^{2}}\,\frac{d^{3}}{w^{3}},\] \[y \,=\, \frac{2ud}{w} \,-\, \frac{4ud}{3w} \,=\, \frac{2ud}{3w}.\]

     

    Souřadnice místa, kde vor přistane, jsou:

    \[x\,=\,d\,,\] \[y\,=\,\frac{2ud}{3w}\,.\]
  • Odpověď

    Průběh \(\vec{v}(t)\) rychlosti voru vzhledem ke břehu je:

    \[\vec{v}(t)\,=\,w\vec{i}\,+\,\left(\frac{4u}{d}wt\,-\,\frac{4u}{d^{2}}w^{2}t^{2}\right)\vec{j}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    Průběh \(\vec{r}(t)\) polohy voru je:

    \[\vec{r}(t)\,=\,wt\vec{i}\,+\,\left(\frac{2u}{d}wt^{2}\,-\,\frac{4u}{ 3d^{2}}w^{2}t^{3}\right)\vec{j}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    Poloha místa, ve kterém vor přistane u druhého břehu je:

    \[x\,=\,d\,,\] \[y\,=\,\frac{2ud}{3w}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Koudelková, H.: Elektronická sbírka příkladů k úvodním partiím
klasické mechaniky, diplomová práce; MFF UK, Praha 2003 - upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Koudelková, H.: Elektronická sbírka příkladů k úvodním partiím klasické mechaniky, diplomová práce; MFF UK, Praha 2003 - upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze