Kutálení kuličky

Úloha číslo: 131

Malá kulička se skutálela po dráze tvaru nakloněné roviny délky l = 2 m , svírající s vodorovnou rovinou úhel α = 30° a zakončené obloukem o poloměru R = 0,4 m a středovém úhlu 90° (viz obrázek).

Velikost rychlosti, se kterou kulička opustila konec oblouku, byla v = 3,5 m·s−1 .

a) Určete maximální výšku H nad vodorovnou rovinou, do které se kulička dostane po opuštění dráhy.

b) Určete dobu T , po kterou se kulička nachází ve vzduchu po opuštění dráhy.

c) Určete vodorovnou vzdálenost L , ve které kulička dopadne, od místa, kde opustí oblouk.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    l  = 2  m délka nakloněné roviny
    α = 30° úhel, který svírá nakloněná rovina s vodorovnou rovinou
    R = 0,4 m poloměr oblouku
    v = 3,5 m·s−1 rychlost, se kterou kulička opustila konec oblouku
    H = ? (m) maximální výska, do které se kulička dostane
    T = ? (s) doba, po kterou se kulička nachází ve vzduchu
    L = ? (m) vzdálenost, ve které kulička dopadne
    Z tabulek
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Jak můžete charakterizovat pohyb kuličky po opuštění dráhy?

    Nakreslete si obrázek a vyznačte v něm veličiny, které budete k výpočtům potřebovat.

    Napište si všechny potřebné vztahy mezi těmito veličinami, které vyplývají z obrázku.

  • Nápověda 2 pro a): Maximální výška

    Jaké vztahy (pro souřadnice a složky rychlosti) platí pro vrh šikmo vzhůru s počáteční rychlostí velikosti v a elevačním úhlem 90° − α?

    Jak z těchto vztahů vyjádříte maximální výšku, do které se kulička dostane po opuštění dráhy?

  • Nápověda 3 pro b): Doba letu kuličky

    Celková doba, po kterou se kulička nachází ve vzduchu, se skládá z doby stoupání kuličky a z doby klesání kuličky.

    Jak tyto doby vypočítáte?

  • Nápověda 4 pro c): Délka letu

    Vodorovnou vzdálenost od místa, kde kulička opustí oblouk, si označte L a vyznačte si ji v obrázku.

    Jak ji vypočítáte?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    a) Výška výstupu

    Jedná se o vrh šikmo vzhůru z počáteční výšky h3 nad vodorovnou rovinou pod úhlem 90° − α  s počáteční rychlostí \(\vec{v}\) (viz obrázek 1).

    Obrázek 1:

    Obrázek celé situace

    Obrázek 2:

    Obrázek s naznačenou trajektorií kuličky

    obrázků 1,2 vyplývá několik vztahů pro úhel α a dané hodnoty:

    \[h_1\,=\,l\sin\alpha\,,\] \[h_2\,=\,R\left(1\,-\,\cos\alpha\right)\,,\] \[h_3\,=\,R\left[1\,-\,\cos(90^{\circ}-\alpha)\right]\,=\,R\left(1\,-\,\sin\alpha\right)\,,\] \[H\,=\,h_3\,+\,h_4\,.\]

    Pro vrh šikmo vzhůru s počáteční rychlostí v a elevačním úhlem 90° − α pak dostáváme:

    \[v_x\,=\,v\,\cos(90^{\circ}-\alpha)\,=\,v\,\sin\alpha\,,\] \[v_y=v\sin(90^{\circ}-\alpha)-gt=v\cos\alpha-gt\,,\] \[x\,=\,vt\,\sin\alpha\,,\] \[y\,=\,vt\,\cos\alpha\,-\,\frac{1}{2}gt^{2}\,.\]

    Pro maximální výšku:

    \[v_y\,=\,0\,,\] \[t_v\,=\,\frac{v\,\cos\alpha}{g}\,,\] \[h_4\,=\, vt_v\,\cos\alpha\,-\,\frac{1}{2}gt_v^{2} \,=\, \frac{v^{2}\,\cos^{2}\alpha}{g}\,-\,\frac{gv^{2}\,\cos^{2}\alpha}{2g^{2}}\,=\,\frac{v^{2}\,\cos^{2}\alpha}{2g}\,,\] \[H \,=\, h_3 \,+\, h_4 \,=\, R\,\left(1\,-\,\sin\alpha\right)\,+\,\frac{v^{2}\,\cos^{2}\alpha}{2g}\,.\]

    Číselně:

    \[H\,=\,\left[0{,}4\,\left(1\,-\,\frac{1}{2}\right)\,+\,\frac{3{,}5^{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{2{\cdot} 9{,}81}\right]\,\mathrm{m}\,,\] \[H\,\dot=\,0{,}67\,\mathrm{m}\,.\]

    b) Doba letu

    Doba stoupání:

    \[t_v\,=\,T_1\,=\,\frac{v\,\cos\alpha}{g}\,.\]

    Doba klesání (kulička padá z výšky H):

    \[H\,=\,\frac{1}{2}gT_2^{2}\,,\] \[T_2\,=\,\sqrt{\frac{2H}{g}}\,.\]

    Celková doba letu:

    \[T\,=\,T_1\,+\,T_2\,=\,\frac{v\,\cos\alpha}{g}\,+\,\sqrt{\frac{2H}{g}}\,.\]

    Číselně:

    \[T\,=\,\left[\frac{3{,}5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{9{,}81}\,+\,\sqrt{\frac{2{\cdot} 0{,}67}{9{,}81}}\right]\,\mathrm{s}\,,\] \[T\,\dot=\,0{,}68\,\mathrm{s}\,.\]

    c) Délka letu

    Ve vodorovném směru se kulička pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí v sin α po dobu T.

    Vodorovná vzdálenost L od místa, kde kulička opustí oblouk je tedy:

    \[L\,=\,vT\,\sin\alpha\,.\]

    Číselně:

    \[L=\left(3{,}5{\cdot} 0{,}68\cdot \frac{1}{2}\right)\,\mathrm{m}\,,\] \[L\,\dot=\,1{,}19\,\mathrm{m}\,.\]
  • Odpověď

    a) Pro maximální výšku nad vodorovnou rovinou, do které se kulička dostane po opuštění dráhy, platí:

    \[H\,=\,R\left(1\,-\,\sin\alpha\right)\,+\,\frac{v^{2}\,\cos^{2}\alpha}{2g}\,\dot=\,0{,}67\,\mathrm{m}\,.\]

    b) Doba, po kterou se kulička nachází ve vzduchu po opuštění dráhy, je:

    \[T\,=\,T_1\,+\,T_2\,=\,\frac{v\,\cos\alpha}{g}\,+\,\sqrt{\frac{2H}{g}}\,\dot=\,0{,}68\,\mathrm{s}\,.\]

    c) Vodorovná vzdálenost od místa, kde kulička opustí oblouk, je:

    \[L\,=\,vT\,\sin\alpha\,\dot=\,1{,}19\,\mathrm{m}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze