Těžiště různě uspořádaných soustav koulí

Úloha číslo: 1130

Určete polohu těžiště soustavy složené ze čtyř homogenních koulí o hmotnostech 1 kg, 2 kg, 3 kg a 4 kg v těchto případech:

A) koule leží na přímce ve stejných vzdálenostech,
B) koule leží ve vrcholu čtverce,
C) koule jsou umístěny ve čtyřech sousedních vrcholech krychle.

Ve všech případech jsou vzdálenosti mezi středy sousedních koulí rovny a. V případech B)C) je nejtěžší koule v počátku souřadného systému.

  • Zápis

    m1 = 1 kg hmotnost 1. koule
    m2 = 2 kg hmotnost 2. koule
    m3 = 3 kg hmotnost 3. koule
    m4 = 4 kg hmotnost 4. koule
    a vzdálenost mezi středy libovolných dvou sousedních koulí
    rT = ? poloha těžiště
  • Nápověda 1 (k části A)

    Nakreslete si obrázek zachycující situaci a vhodně do něj zaveďte souřadný systém. Středům S1, S2, S3, S4 všech koulí připište ve vašem systému odpovídající souřadnice.

  • Nápověda 2 (k části A)

    Umíte nyní bez počítání okamžitě určit y-ovou a z-ovou souřadnici těžiště?

  • Nápověda 3 (k části A)

    Koule bez udaných rozměrů můžeme považovat za hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna do středů původních koulí. Využijeme tedy vztah pro výpočet polohy (polohového vektoru) těžiště soustavy hmotných bodů. Znáte jej? Jak se změní, zajímáme-li se již pouze o x-ovou souřadnici těžiště?

  • Nápověda 4 (k části A)

    Rozepište sumy ve vztahu (1) dle zadaných hodnot a dopočítejte souřadnici xT.

  • Nápověda 5 (k části B)

    Postupujte v části B stejně jako v části předchozí - nakreslete si obrázek a umístěte koule do souřadného systému (nezapomeňte, že nejhmotnější z nich má své místo v počátku soustavy souřadnic). Napište souřadnice středů koulí a výpočtem nebo úvahou rozhodněte, zda lze některou ze souřadnic těžiště určit přímo, bez výpočtu.

  • Nápověda 6 (k části B)

    K výpočtu x-ové a y-ové souřadnice těžiště použijte opět vztah (1), resp. jeho obměnu pro proměnnou y. Číselně obě souřadnice dopočítejte.

  • Nápověda 7 (k části C)

    Stejný postup zopakujte také potřetí, v části C. Nakreslete si obrázek, umístěte koule do souřadného systému, určete jejich souřadnice a dle vztahu (1) či jeho obměn (pro jiné souřadnice než x) určete postupně xT, yT, zT.

  • Komentář

    Všechny získané výsledky se vztahují k námi zvoleným souřadným systémům a umístěním koulí, které jsou znázorněny na obrázcích. Při jiném umístění koulí do souřadných systémů se budou vaše výsledky číselně lišit!

  • Celkové řešení

    Koule bez udaných rozměrů můžeme považovat za hmotné body, jejichž hmotnost je soustředěna do středů původních koulí. Na úvod každé části úlohy je nutné umístit soustavu koulí do vhodně zvoleného souřadného systému.


    Část A:

    Jedno možné zavedení souřadného systému a umístění koulí ukazuje obrázek níže.

    Umístění kuliček do soustavy souřadnic - část A

    V tomto zavedení jsou souřadnice středů koulí:

    \[S_1\,=\,[0{,}0,0],\] \[S_2\,=\,[a,0{,}0],\] \[S_3\,=\,[2a,0{,}0],\] \[S_4\,=\,[3a,0{,}0].\]

    Vzhledem k tomu, že středy (a tedy i těžiště) všech koulí leží na ose x, bude také těžiště celé soustavy ležet na ose x. Každý bod na ose x má ovšem y-ovou i z-ovou souřadnici nulovou:

    \[y_T\,=\,z_T\,=\,0.\]

    Zbývá tedy určit pouze x-ovou souřadnici těžiště.

    Vztah pro polohu těžiště soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice těžiště lze počítat po složkách, platí pro x-ovou souřadnici těžiště naší soustavy:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}.\tag{1}\]

    Rozepsáním sum ve vztahu (1) dostáváme:

    \[x_T\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}a\,+\,m_3{\cdot}2a\,+\,m_4{\cdot}3a}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}.\tag{2}\]

    Nakonec číselně dosadíme do vztahu (2) hmotnosti ze zadání:

    \[x_T\,=\,\frac{1{\cdot}0\,+\,2{\cdot}a\,+\,3{\cdot}2a\,+\,4{\cdot}3a}{1\,+\,2\,+\,3\,+\,4}\,=\,\frac{20a}{10}\,=\,2a.\]

    Těžiště T soustavy zadané v části A má souřadnice:

    \[T\,=\,[2a,0{,}0].\]

    Část B:

    Jedno možné zavedení souřadného systému a umístění koulí ukazuje obrázek níže.

    Umístění kuliček do soustavy souřadnic - část B

    V tomto zavedení jsou souřadnice středů koulí:

    \[S_1\,=\,[0,a,0],\] \[S_2\,=\,[a,a,0],\] \[S_3\,=\,[a,0{,}0],\] \[S_4\,=\,[0{,}0,0].\]

    Vzhledem k tomu, že středy (a tedy i těžiště) všech koulí leží v rovině xy, bude také těžiště celé soustavy ležet v rovině xy. Každý bod této roviny má ovšem z-ovou souřadnici nulovou, tedy pro těžiště platí:

    \[z_T\,=\,0.\]

    Zbývá tedy určit pouze x-ovou a y-ovou souřadnici těžiště.

    Pro x-ovou souřadnici těžiště xT dle vztahu (1) platí:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}a\,+\,m_3{\cdot}a\,+\,m_4{\cdot}0}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}.\]

    Číselně:

    \[x_T\,=\,\frac{1{\cdot}0\,+\,2{\cdot}a\,+\,3{\cdot}a\,+\,4{\cdot}0}{1\,+\,2\,+\,3\,+\,4}\,=\,\frac{5a}{10}\,=\,\frac{a}{2}.\]

    Pro výpočet y-ové souřadnice těžiště yT použijeme vztah analogický vztahu (1), pouze pro proměnnou y:

    \[y_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_iy_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}a\,+\,m_2{\cdot}a\,+\,m_3{\cdot}0\,+\,m_4{\cdot}0}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}.\]

    Číselně:

    \[y_T\,=\,\frac{1{\cdot}a\,+\,2{\cdot}a\,+\,3{\cdot}0\,+\,4{\cdot}0}{1\,+\,2\,+\,3\,+\,4}\,=\,\frac{3a}{10}.\]

    Těžiště T soustavy zadané v části B má souřadnice:

    \[T\,=\,[\frac{a}{2},\frac{3a}{10},0].\]

    Část C:

    Jedno možné zavedení souřadného systému a umístění koulí ukazuje obrázek níže.

    Umístění kuliček do soustavy souřadnic - část C
    V tomto zavedení jsou souřadnice středů koulí:

    \[S_1\,=\,[0,a,0],\] \[S_2\,=\,[0{,}0,a],\] \[S_3\,=\,[a,0{,}0],\] \[S_4\,=\,[0{,}0,0].\]

    Pro x-ovou souřadnici těžiště xT dle vztahu (1) platí:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}0\,+\,m_3{\cdot}a\,+\,m_4{\cdot}0}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}\,=\,\frac{3a}{10}.\]

    Pro y-ovou souřadnici těžiště yT analogicky platí:

    \[y_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_iy_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}a\,+\,m_2{\cdot}0\,+\,m_3{\cdot}0\,+\,m_4{\cdot}0}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}\,=\,\frac{a}{10}.\]

    Pro z-ovou souřadnici těžiště zT analogicky platí:

    \[z_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^4{m_iz_i}}{\sum_{i=1}^4{m_i}}\,=\,\frac{m_1{\cdot}0\,+\,m_2{\cdot}a\,+\,m_3{\cdot}0\,+\,m_4{\cdot}0}{m_1\,+\,m_2\,+\,m_3\,+\,m_4}\,=\,\frac{a}{5}.\]

    Těžiště T soustavy zadané v části C má souřadnice:

    \[T\,=\,[\frac{3a}{10},\frac{a}{10},\frac{a}{5}].\]

    Poznámka: Všechny získané výsledky se vztahují k námi zvoleným souřadným systémům a umístěním koulí, které jsou znázorněny na obrázcích. Při jiném umístění koulí do souřadných systémů se budou vaše výsledky číselně lišit!

  • Odpověď

    V námi zvolených souřadných systémech a umístěních koulí jsme vypočítali souřadnice těžiště následovně:

    Část A: \[T\,=\,[2a,0{,}0].\] Část B: \[T\,=\,[\frac{a}{2},\frac{3a}{10},0].\] Část C: \[T\,=\,[\frac{3a}{10},\frac{a}{10},\frac{a}{5}].\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze