Válec ponořený ve vodě

Úloha číslo: 149

Dřevěný válec plave ponořený ve vodě do 2/3 své výšky. Jakou práci je nutno vykonat na vytažení válce tak, že jeho spodní podstava se zvedne do výšky 20 cm nad hladinu? Poloměr válce je 10 cm a jeho výška 60 cm.

  • Zápis

    r = 10 cm = 0,1 m poloměr válce
    h =  60 cm = 0,6 m výška válce
    x = 2/3h ponořená část válce
    a = 20 cm = 0,2 m výška nad hladinou, do které zvedáme válec
    W = ? (J) práce potřebná na zvednutí válce
  • Nápověda 1 - plavající válec

    Nakreslete si obrázek plavajícího válce a síly, které na něj působí. Co pro ně platí?

  • Nápověda 2 - síla potřebná na vytahování válce

    Nakreslete si situaci, kdy je válec povytažený o výšku x z vody. Jaké síly na něj nyní působí? Jak velkou silou musíme válec přidržovat, aby se nepotopil?

  • Nápověda 3 - Práce na vytažení na úroveň hladiny

    Jakou práci vykonáme při vytažení válce na úroveň hladiny? Znáte sílu, kterou válec vytahujeme a dráhu, po které ho vytahujeme. Uvědomte si, že síla není konstantní, ale závisí na výšce povytažení.

  • Nápověda 4 - práce na zvednutí nad hladinu

    Jak velkou práci vykonáme při zvednutí válce z úrovně hladiny do výšky a? Jaká bude celková práce?

  • Číselný výpočet

    Dáno:

    \[r\,=\,10\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}1\,\mathrm{m},\] \[h\,=\,60\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}6\,\mathrm{m},\] \[a\,=\,20\,\mathrm{cm}\,=\,0{,}2\,\mathrm{m},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}},\] \[\rho_v\,=\,1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}.\]

    Hledáme:

    \[W\,=\,?,\] \[W\,=\,\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2gh\left(\frac{1}{3}h+a\right),\] \[W\,=\,\frac {2}{3}\cdot1000{\cdot}3{,}14{\cdot} 0{,}1^2{\cdot}9{,}81{\cdot} 0{,}6\cdot\left(\frac{1}{3}\cdot0{,}6+0{,}2\right)\,\mathrm{J},\] \[W\,=\,49\,\mathrm{J}.\]
  • Celkové řešení

    Nejprve si rozmyslíme, jaké síly působí na válec, když plave, a co pro síly v této situaci platí.

    Plavající válec

    \(\vec{F_G}\)…tíhová síla

    \(\vec{F_v}\)…vztlaková síla

    \(h\)…výška válce

    Když válec plave, je tíhová síla v rovnováze se vztlakovou silou.

    Platí:

    \[F_G\,=\,F_v,\] \[mg\,=\,V_{p}\rho_{v} g,\]

    \(m\)…hmotnost válce,

    \(g\)…tíhové zrychlení,

    \(V_p\)…objem ponořené části válce,

    \(\rho_v\)…hustota vody.

    Hmotnost válce vyjádříme pomocí jeho hustoty a objemu:

    \[\rho_d V_vg\,=\,V_{p}\rho_{v} g,\]

    \(\rho_d\)…hustota dřeva,

    \(V_v\)…objem válce.

    Objem válce a jeho ponořené části ještě vyjádříme pomocí výšky a plochy podstavy a zjistíme vztah mezi hustotou dřeva a vody.

    \[\rho_dShg\,=\,\rho_{v}S\frac{2}{3}h g,\] \[\rho_d\,=\,\frac{2}{3}\rho_{v}.\tag{1}\]

    Nyní rozebereme situaci, kdy je válec povytažený z vody o výšku x.

    Povytažený válec

    \(\vec{F_G}\)…tíhová síla,

    \(\vec{F_v^{'}}\)…vztlaková síla,

    \(\vec{F}\)…síla, kterou válec vytahujeme.

    Povytáhneme-li válec o výšku x z vody, zmenší se ponořený objem válce a tím i vztlaková síla, která na něj působí. Předpokládáme-li, že válec vytahujeme rovnoměrným pohybem, musíme ho v této situaci přidržovat silou, jejíž velikost je rovna právě úbytku vztlakové síly.

    \[F\,=\,V_x\rho_vg\,=\,S\rho_vgx\tag{2}\]

    Síla, kterou válec vytahujeme je úměrná jeho povytažení z vody.

    Proměnná síla působí ve směru posunutí. Práci můžeme spočítat podle vztahu:

    \[W_1\,=\,\int_{x_1}^{x_2}{F\mathrm{d}x}.\]

    Za F dosadíme ze vztahu (2), válec vytahujeme od x1 = 0 do x2 = 2/3 h.

    \[W_1\,=\,\int_{0}^{\frac{2}{3}h}{S\rho_vgx\mathrm{d}x}\,=\,S\rho_vg\int_{0}^{\frac{2}{3}h}{x\mathrm{d}x},\] \[W_1\,=\,S\rho_vg\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{2}{3}h}=S\rho_vg\frac{2}{9}h^2,\] \[W_1\,=\,\frac{2}{9}\pi r^2\rho_vh^2g.\tag{3}\]

    Poznámka: Grafické řešení

    Práci potřebnou na vytažení válce z vody můžeme také určit s pomocí grafu závislosti síly F na výšce povytažení válce z vody x.

    Graf závislosti síly F na výšce povytažení x

    Plave-li válec ve vodě, je x = 0 a síla F = 0. Při vytažení válce na úroveň hladiny je \(x\,=\,\frac{2}{3}h\) a válec musíme držet silou Fmax, která je rovna jeho tíze.

    \[F_{max}\,=\,F_G\,=\,mg\,=\,\rho_d Vg=\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2hg\]

    Práce je rovna obsahu plochy pod křivkou. Platí tedy:

    \[W_1\,=\,\frac{F_{max}\frac{2}{3}h}{2}\,=\,\frac{2}{9}\rho_v \pi r^2h^2g.\]

    Práce, kterou musíme vykonat na zvednutí válce do výšky a nad hladinu je rovna přírůstku potenciální energie válce.

    \[W_2\,=\,\Delta E_p\] \[W_2\,=\,mga\] \[W_2\,=\,\rho_dV_vga\]

    Za \(\rho_d\) dosadíme ze vztahu (1):

    \[W_2\,=\,\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2 hga.\tag{4}\]

    Celková práce je rovna součtu práce potřebné na vytažení z vody a práce potřebné na zvednutí nad hladinu.

    \[W\,=\,W_1+W_2\] \[W\,=\,\frac{2}{9}\rho_v \pi r^2h^2g+\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2 hga\,=\,\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2gh\left(\frac{1}{3}h+a\right)\] \[W\,=\,\frac {2}{3}\cdot1000{\cdot}3{,}14{\cdot} 0{,}1^2{\cdot}9{,}81{\cdot} 0{,}6(\frac{1}{3}\cdot0{,}6+0{,}2)\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,49\,\mathrm{J}\]

    Opdověď:Práce potřebná na zvednutí válce do výšky 20 cm je \(W\,=\,49\,\mathrm{J}.\)

  • Odpověď

    Práce potřebná na zvednutí válce do výšky 20 cm je \[W=\frac{2}{3}\rho_v \pi r^2gh\left(\frac{1}{3}h+a\right)\,=\,49\,\mathrm{J}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze