Dřevěný hranol

Úloha číslo: 156

Dřevěný hranol o hmotnosti 3 kg leží na vodorovné podložce. Je zasažen střelou o hmotnosti 5 g pohybující se vodorovně. Střela v hranolu zůstane. Hranol se posune po podložce o 25 cm. Koeficient tření mezi hranolem a podložkou je 0,2. Určete počáteční rychlost střely.

  • Zápis

    M = 3 kg hmotnost dřevěného hranolu
    m = 5 g = 5·10-3 kg hmotnost střely
    d = 25 cm = 0,25 m posunutí hranolu po podložce
    f = 0,2 koeficient tření mezi hranolem a podložkou
    v0 = ? (m·s-1) rychlost střely před zásahem hranolu
  • Rozbor

    K řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti, pomocí kterého určíme rychlost hranolu po zásahu střelou, a zákon zachování energie.

  • Nápověda 1 - zákon zachování hybnosti (ZZH)

    Nakreslete si obrázek situace. Napište, jaká je hybnost soustavy střela + hranol těsně před zásahem hranolu střelou a těsně po něm. Co pro tyto hybnosti platí?

  • Nápověda 2 - zákon zachování energie (ZZE)

    Uvědomte si, na co se přemění kinetická energie, kterou má střela před zasažením hranolu.

  • Nápověda 3 - zastavení hranolu

    Proč se hranol, který se dal po zásahu do pohybu, po čase zastaví? Na co se přemění jeho kinetická energie?

  • Číselný výpočet

    Je dáno:

    \[m=5\,\mathrm{g}=0{,}005\,\mathrm{kg},\] \[M=3\,\mathrm{kg},\] \[g=9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}},\] \[d=25\,\mathrm{cm}=0{,}25\,\mathrm{m},\] \[f=0{,}2.\]

    Hledáme:

    \[v_0=?,\] \[v_0=\frac{m+M}{m}\sqrt{2gdf},\] \[v_0=\frac{0{,}005+3}{0{,}005}\sqrt{2{\cdot}9{,}81{\cdot}0{,}25{\cdot}0{,}2}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v_0=595\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}. \]
  • Odpověď

    Střela se před zásahem hranolu pohybovala rychlostí \[v_0\,=\,\frac{m+M}{m}\sqrt{2gdf}\,=\,595\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

  • Celkové řešení

    K řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti, pomocí kterého určíme rychlost hranolu po zásahu střelou, a zákon zachování energie.

    Situace před srážkou

     

    Situace po srážce

    Podle zákona zachování hybnosti bude hybnost střely a hranolu před zásahem rovna hybnosti hranolu se střelou po zásahu.

    \[\mathrm{ZZH:} \qquad \vec{p_0}+ \vec{p_h}=\vec{p_1}\]

    p0…hybnost střely před zásahem

    ph…hybnost hranolu před zásahem

    p1…hybnost soustavy střela+hranol po zásahu

    \[m\vec{v_0}+ 0\,=\,\left(m+M\right)\vec{v_1}\]

    v0…rychlost střely před zásahem

    v1…rychlost soustavy střela+hranol po zásahu

    Protože se střela i hranol pohybují v jedné přímce můžeme ZZH přepsat skalárně.

    \[mv_0\,=\,\left(m+M\right)v_1\]

    Odsud vyjádříme rychlost v1:

    \[v_1\,=\,\frac{mv_0}{m+M}.\tag{1}\]

    Část kinetické energie střely jde na kinetickou energii hranolu, který se dá po zásahu do pohybu. Další část kinetické energie střely se přemění na vnitřní energii střely a hranolu, které se při zásahu zahřejí. Zapíšeme to rovnicí.

    \[E_{ks}\,=\,E_k+\Delta U\]

    Eks…kinetická energie střely před zásahem

    Ek…kinetická energie soustavy střela+hranol těsně po zásahu

    ΔU…změna vnitřní energie střely a hranolu

    \[\frac{1}{2}mv_0^2,=\,\frac{1}{2}\left(M+m\right)v_1^2+\Delta U\]

    Hranol, který se dal po zásahu střelou do pohybu, se po čase zastaví. Zapíšeme, co se stane s jeho kinetickou energií. Hranol se zastaví díky působení třecí síly. Třecí síla při zastavování hranolu koná práci, hranol i podložka se zahřívají a zvyšuje se jejich vnitřní energie. Kinetická energie hranolu se střelou, kterou má bezprostředně po zásahu, je rovna práci, kterou vykoná třecí síla na dráze zastavení.

    \[E_k\,=\,W\]

    Ek…kinetická energie soustavy střela+hranol těsně po zásahu

    W…práce třecí síly

    \[\frac{1}{2}\left(m+M\right)v_1^2\,=\,F_td\tag{2}\]

    Třecí síla je úměrná kolmé tlakové síle, kterou působí hranol se střelou na podložku:

    \[F_t \,=\, Nf \,=\, \left(M+m\right)gf.\]

    Dosadíme za třecí sílu do vztahu (2):

    \[\frac{1}{2}\left(m+M\right)v_1^2\,=\,\left(M+m\right)gfd.\]

    Za v1 dosadíme ze vztahu (1):

    \[\frac{1}{2}\left(M+m\right)\frac{m^2v_0^2}{\left(M+m\right)^2}\,=\,\left(M+m\right)gfd,\] \[v_0^2\,=\,\frac{2\left(M+m\right)^2}{m^2}gfd,\] \[v_0\,=\,\frac{M+m}{m}\sqrt{2gfd},\] \[v_0\,=\,\frac{0{,}005+3}{0{,}005}\sqrt{2{\cdot}9{,}81{\cdot}0{,}25{\cdot}0{,}2}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}},\] \[v_0\,=\,595\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}. \]

    Odpověď:Střela se před zásahem hranolu pohybovala rychlostí \[v_0\,=\,595\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze