Sbírka řešených úloh

Průměrná rychlost auta I

Úloha číslo: 137

• Zápis

  v1 = 30 km·h−1	rychlost při stoupání
  v2 = 90 km·h−1	rychlost při sjezdu
  vp = ? (km·h−1)	průměrná rychlost

• Nápověda 1: Čas potřebný k jízdě

  Napište, jaký vztah platí pro čas potřebný k jízdě do kopce a k jízdě z kopce.

  Dráhu, kterou auto ujelo do kopce, a dráhu, kterou ujelo z kopce, sice neznáte, ale víte, že je stejná. Tato informace bude k dalšímu výpočtu stačit.

• Řešení k nápovědě 1

  Důležitá informace v zadání úlohy je, že dráha nahoru i dolů je stejně dlouhá. My ji sice neznáme, ale počítat s ní budeme muset – označme si ji s.

   

  Čas t₁ potřebný k jízdě do kopce pak bude:

  \[t_1\,=\,\frac{s}{v_1}\,.\]

  Čas t₂ potřebný k následné jízdě z kopce dolů pak bude:

  \[t_2\,=\,\frac{s}{v_2}\,.\]

• Nápověda 2: Průměrná velikost rychlosti auta

  Uvědomte si, co je to průměrná velikost rychlosti auta, tedy jaký pro ni platí vztah.

  Nenechte se zmást úvahou, že jde o aritmetický průměr velikostí rychlostí v₁ a v₂.

• Řešení k nápovědě 2

  Průměrnou velikost rychlosti bereme jako celkovou uraženou dráhu dělenou celkovou dobou pohybu. (Srovnej s definicí průměrné rychlosti jako změny posunutí za celkový čas.)

  \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}s}{\mathrm{\Delta}t}\,=\,\frac{2s}{t_1\,+\,t_2}\,=\,\frac{2s}{\frac{s}{v_1}\,+\,\frac{s}{v_2}}\,=\,\frac{2}{\frac{1}{v_1}\,+\,\frac{1}{v_2}}\,=\,\frac{2v_1v_2}{v_1\,+\,v_2}\,.\]

  Číselně:

  \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{(2{\cdot} 30 \cdot 90)\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}\,=\,45\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,.\]

  Průměrná velikost rychlosti auta je tedy jen 45 km·h⁻¹; všimněte si, že je bližší nižší rychlosti, kterou se auto pohybuje déle. V našem případě (stejná dráha nahoru i dolů) musí dokonce platit, že:

  \[\frac{v_\mathrm{p}\,-\,v_1}{v_2\,-\,v_\mathrm{p}}\,=\,\frac{v_1}{v_2}\,.\]

   

  Číselně:

  \[\frac{30\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}}{90\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}}\,=\,\frac{1}{3}\,.\]

   

  Poznámka: Zadání úlohy svádí k okamžité (ale chybné) odpovědi, že to musí být 60 km·h⁻¹ (aritmetický průměr obou hodnot). Ale pozor – rychlostí v₁ = 30 km·h⁻¹ jede auto třikrát delší čas než rychlostí v₂ = 90 km·h⁻¹ !!!

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Důležitá informace v zadání úlohy je, že dráha nahoru i dolů je stejně dlouhá. My ji sice neznáme, ale počítat s ní budeme muset – označíme si ji s.

   

  Čas t₁ potřebný k jízdě do kopce pak bude:

  \[t_1=\frac{s}{v_1}\,.\]

  Čas t₂ potřebný k následné jízdě z kopce dolů pak bude:

  \[t_2=\frac{s}{v_2}\,.\]

  Průměrnou velikost rychlosti určíme jako celkovou uraženou dráhu dělenou celkovou dobou pohybu (srovnej s definicí průměrné rychlosti jako změny posunutí za celkový čas).

  \[v_\mathrm{p}=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,.\]

  Číselně:

  \[v_\mathrm{p}=\frac{(2.30.90)\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}=45\,\mathrm{km.h^{-1}}\,.\]

  Průměrná velikost rychlosti auta je tedy jen 45 km·h^-1; všimněte si, že je bližší nižší rychlosti, kterou se auto pohybuje déle. V našem případě (stejná dráha nahoru i dolů) musí dokonce platit, že:

  \[\frac{v_\mathrm{p}-v_1}{v_2-v_\mathrm{p}}=\frac{v_1}{v_2}\,.\]

   

  Číselně:

  \[\frac{30\,\mathrm{km.h^{-1}}}{90\,\mathrm{km.h^{-1}}}=\frac{1}{3}\,.\]

  Poznámka: Zadání úlohy svádí k okamžité (ale chybné) odpovědi, že to musí být 60 km·h^-1 (aritmetický průměr obou hodnot). Ale pozor – rychlostí v₁ = 30 km·h^-1 jede auto třikrát delší čas než rychlostí v₂ = 90 km·h^-1 !!!

• Odpověď

  Průměrná velikost rychlosti auta je:

  \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}s}{\mathrm{\Delta}t}\,=\,\frac{2s}{t_1+t_2}\,=\,\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}\,=\,\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}\,=\,\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,.\]

  Číselně:

  \[v_\mathrm{p}\,=\,\frac{(2{\cdot} 30 \cdot 90)\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}\,=\,45\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,.\]