Průměrná rychlost auta I

Úloha číslo: 137

Rychlost auta v prudkém stoupání je 30 km·h−1. V následujícím stejně dlouhém sjezdu jede rychlostí 90 km·h−1. Určete, jak velká je průměrná velikost rychlosti auta.

  • Zápis

    v1 = 30 km·h−1 rychlost při stoupání
    v2 = 90 km·h−1 rychlost při sjezdu
    vp = ? (km·h−1) průměrná rychlost
  • Nápověda 1: Čas potřebný k jízdě

    Napište, jaký vztah platí pro čas potřebný k jízdě do kopce a k jízdě z kopce.

    Dráhu, kterou auto ujelo do kopce, a dráhu, kterou ujelo z kopce, sice neznáte, ale víte, že je stejná. Tato informace bude k dalšímu výpočtu stačit.

  • Nápověda 2: Průměrná velikost rychlosti auta

    Uvědomte si, co je to průměrná velikost rychlosti auta, tedy, jaký pro ni platí vztah.

    Nenechte se zmást úvahou, že jde o aritmetický průměr velikostí rychlostí v1 a v2.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Důležitá informace v zadání úlohy je, že dráha nahoru i dolů je stejně dlouhá, my ji sice neznáme, ale počítat s ní budeme muset – označme si ji s .

     

    Čas t1 potřebný k jízdě do kopce pak bude:

    \[t_1=\frac{s}{v_1}\,.\]

    Čas t2 potřebný k následné jízdě z kopce dolů pak bude:

    \[t_2=\frac{s}{v_2}\,.\]

    Průměrnou velikost rychlosti určíme jako celkovou uraženou dráhu dělenou celkovou dobu pohybu (srovnej s definicí průměrné rychlosti jako změny posunutí za celkový čas).

    \[v_p=\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}=\frac{2s}{t_1+t_2}=\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,.\]

    Číselně:

    \[v_p=\frac{(2.30.90)\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}=45\,\mathrm{km.h^{-1}}\,.\]

    Průměrná velikost rychlosti auta je tedy jen 45 km·h-1 ; všimněte si, že je bližší nižší rychlosti, kterou se auto pohybuje déle. V našem případě (stejná dráha nahoru i dolů) musí dokonce platit, že:

    \[\frac{v_p-v_1}{v_2-v_p}=\frac{v_1}{v_2}\,.\]

     

    Číselně:

    \[\frac{30\,\mathrm{km.h^{-1}}}{90\,\mathrm{km.h^{-1}}}=\frac{1}{3}\,.\]

    Poznámka: Zadání úlohy svádí k okamžité (ale chybné) odpovědi, že to musí být 60 km·h-1 (aritmetický průměr obou hodnot). Ale pozor – rychlostí v1 = 30 km·h-1 jede auto třikrát delší čas než rychlostí v2 = 90 km·h-1 !!!

  • Odpověď

    Průměrná velikost rychlosti auta je:

    \[v_p\,=\,\frac{\mathrm{\Delta}s}{\mathrm{\Delta}t}\,=\,\frac{2s}{t_1+t_2}\,=\,\frac{2s}{\frac{s}{v_1}+\frac{s}{v_2}}\,=\,\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}\,=\,\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}\,.\]

    Číselně:

    \[v_p\,=\,\frac{(2{\cdot} 30 \cdot 90)\,\mathrm{km}}{(30+90)\,\mathrm{h}}\,=\,45\,\mathrm{km \cdot h^{-1}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze