Sbírka řešených úloh

Stoupající auto

Úloha číslo: 216

• Zápis

  m = 1200 kg	hmotnost auta
  P = 33 kW	výkon motoru
  v = 72 km·h−1	rychlost auta
  α = ? (°)	sklon kopce

• Doporučení

  Než se do příkladu pustíte, pročtěte si řešení úlohy Nákladní auto a kopec.

• Rozbor

  Známe maximální výkon motoru auta a rychlost, kterou se auto pohybuje. Odtud můžeme zjistit maximální tažnou sílu motoru auta. Z podmínky, která musí platit pro výslednici sil působících na auto, pak spočítáme příslušný úhel stoupání.

  Alternativní možností je vyjádřit si, o kolik se zvýší potenciální energie auta za určitý čas. Tento přírůstek potenciální energie je pak roven práci, kterou vykoná za tuto dobu motor auta při uvedeném výkonu.

• Nápověda 1

  Jaké síly na auto během pohybu působí? Jaký mají směr? Nakreslete si obrázek.

• Řešení k nápovědě 1

  Na auto působí celkem tři síly (odpor vzduchu neuvažujeme):

  1) Tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$ působí svisle dolů.

  2) Reakční síla vozovky $\vec{R}$ (auto tlačí do vozovky a podle 3. Newtonova zákona tlačí vozovka do auta). Tato síla působí kolmo na vozovku.

  3) Tahová síla motoru $\vec{F}_\mathrm{m}$, která působí ve směru pohybu. (Reálně touto silou působí vozovka na kola auta.)

  

• Nápověda 2

  Co platí podle 1. Newtonova zákona pro výslednici těchto sil, jede-li auto stálou rychlostí?

• Řešení k nápovědě 2

  Protože se automobil pohybuje rovnoměrně přímočaře, musí být výslednice tří výše zmíněných sil nulová (nulový vektor):

  $$\vec{F}_\mathrm{G} \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_\mathrm{m}\,=\,\vec{o}.$$

• Nápověda 3

  Rozložte tíhovou sílu $\vec{F}_\mathrm{G}$ na složku rovnoběžnou s vozovkou a na složku kolmou k vozovce. Dává 1. Newtonův zákon nějaké podmínky pro tyto složky?

• Řešení k nápovědě 3

  Rozklad tíhové síly $\vec{F}_\mathrm{G}$ na síly $\vec{F}_0$ a $\vec{F}_\mathrm{n}$ ukazuje obrázek:

  

  Z něj je také patrné, že má-li být výslednice všech sil působících na automobil nulová, musí být nulové také výslednice ve směru rovnoběžném s vozovkou a ve směru kolmém k vozovce. Musí tedy platit:

  $$\vec{F}_\mathrm{n}\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o},\tag{1}$$ $$\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_\mathrm{m}\,=\,\vec{o}.\tag{2}$$

  Protože síly $\vec{F}_\mathrm{n}$ a $\vec{R}$ mají opačný směr a síly $\vec{F}_0$ a $\vec{F}_\mathrm{m}$ mají také opačný směr, lze pro velikosti těchto sil psát:

  $$F_\mathrm{n}\,-\,R\,=\,0,\tag{3}$$ $$F_0\,-\,F_\mathrm{m}\,=\,0.\tag{4}$$

  Pro další výpočet nám postačí pracovat s rovnicí (4).

• Nápověda 4

  Umíte vyjádřit velikost složky F₀ z tíhové síly? Použijte vhodnou goniometrickou funkci.

• Řešení k nápovědě 4

  Z geometrie úlohy (viz obrázek výše) je patrné, že platí:

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_\mathrm{G}}.$$

  Tedy:

  $$F_0\,=\,F_\mathrm{G}\sin{\alpha}.\tag{5}$$

  Tíhovou sílu F_G můžeme pomocí hmotnosti automobilu vyjádřit jako:

  $$F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{6}$$

  kde g je tíhové zrychlení. Dosazením vztahu (6) do vztahu (5) dostáváme:

  $$F_0\,=\,mg\sin{\alpha}.\tag{7}$$

• Nápověda 5

  Zbývá nám vyjádřit tažnou sílu motoru F_m. Máme zadaný výkon automobilu a jeho rychlost. Umíte z těchto údajů sílu F_m vyjádřit?

• Řešení k nápovědě 5

  Zadané veličiny spojuje vztah $P\,=\,F_\mathrm{m}v$, který platí pro tzv. okamžitý výkon, tedy pro okamžité hodnoty síly i rychlosti. Zřejmě nás tedy bude zajímat okamžitá velikost síly F_m při špičkovém výkonu P a rychlosti v, kterou lze vyjádřit jako:

  $$F_\mathrm{m}\,=\,\frac{P}{v}.\tag{8}$$

• Nápověda 6

  Pomocí vztahů (4), (7), (8) vyjádřete úhel α.

• Řešení k nápovědě 6

  Dosadíme vztahy (7) a (8) do rovnice (4):

  $$F_0\,-\,F_\mathrm{m}\,=\,0,$$ $$mg\sin{\alpha}\,-\,\frac{P}{v}\,=\,0\,\Rightarrow\,sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}.$$

  Číselně:

  $$P\,=\,33\,\mathrm{kW}\,=\,33000\,\mathrm{W},$$ $$m\,=\,1200\,\mathrm{kg},$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$v\,=\,72\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\,=\,20\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},$$ $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}\,=\,\frac{33000}{1200{\cdot}9{,}81{\cdot}20}\,\dot{=}\,0{,}140\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,8^{\circ}3^{\prime}.$$

• Celkové řešení

  Na auto působí celkem tři síly (odpor vzduchu neuvažujeme):

  1) Tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$ působí svisle dolů.

  2) Reakční síla vozovky $\vec{R}$ (auto tlačí do vozovky a podle 3. Newtonova zákona tlačí vozovka do auta). Tato síla působí kolmo na vozovku.

  3) Tahová síla motoru $\vec{F}_\mathrm{m}$, která působí ve směru pohybu. (Reálně touto silou působí vozovka na kola auta.)

  

  Protože se automobil pohybuje rovnoměrně přímočaře, musí být výslednice tří výše zmíněných sil nulová (nulový vektor):

  $$\vec{F}_\mathrm{G} \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_\mathrm{m}\,=\,\vec{o}.$$

  Rozklad tíhové síly $\vec{F}_\mathrm{G}$ na síly $\vec{F}_0$ a $\vec{F}_\mathrm{n}$ ukazuje obrázek:

  

  Z něj je také patrné, že má-li být výslednice všech sil působících na automobil nulová, musí být nulové také výslednice ve směru rovnoběžném s vozovkou a ve směru kolmém k vozovce. Musí tedy platit:

  $$\vec{F}_\mathrm{n}\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o},\tag{1}$$ $$\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_\mathrm{m}\,=\,\vec{o}.\tag{2}$$

  Protože síly $\vec{F}_\mathrm{n}$ a $\vec{R}$ mají opačný směr a síly $\vec{F}_0$ a $\vec{F}_\mathrm{m}$ mají také opačný směr, lze pro velikosti těchto sil psát:

  $$F_\mathrm{n}\,-\,R\,=\,0,\tag{3}$$ $$F_0\,-\,F_\mathrm{m}\,=\,0.\tag{4}$$

  Pro další výpočet nám postačí pracovat s rovnicí (4).

  Z geometrie úlohy (viz obrázek výše) je patrné, že platí:

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_\mathrm{G}}.$$

  Tedy:

  $$F_0\,=\,F_\mathrm{G}\sin{\alpha}.\tag{5}$$

  Tíhovou sílu F_G můžeme pomocí hmotnosti automobilu vyjádřit jako:

  $$F_\mathrm{G}\,=\,mg\,,\tag{6}$$

  kde g je tíhové zrychlení. Dosazením vztahu (6) do vztahu (5) dostáváme:

  $$F_0\,=\,mg\sin{\alpha}.\tag{7}$$

  Zbývá určit velikost síly $\vec{F}_\mathrm{m}$. Vyjdeme ze vztahu $P\,=\,F_\mathrm{m}v$, který platí pro tzv. okamžitý výkon, tedy pro okamžité hodnoty síly i rychlosti. Zřejmě nás tedy bude zajímat okamžitá velikost síly F_m při špičkovém výkonu P a rychlosti v, kterou lze vyjádřit jako:

  $$F_\mathrm{m}\,=\,\frac{P}{v}.\tag{8}$$

  Dosadíme vztahy (7) a (8) do rovnice (4):

  $$F_0\,-\,F_\mathrm{m}\,=\,0,$$ $$mg\sin{\alpha}\,-\,\frac{P}{v}\,=\,0\,\Rightarrow\,sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}.$$

  Číselně:

  $$P\,=\,33\,\mathrm{kW}\,=\,33000\,\mathrm{W},$$ $$m\,=\,1200\,\mathrm{kg},$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$v\,=\,72\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,=\,20\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},$$ $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}\,=\,\frac{33000}{1200{\cdot}9{,}81{\cdot}20}\,\dot{=}\,0{,}140\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,8^{\circ}3^{\prime}.$$

  Kopec tedy může stoupat maximálně pod úhlem přibližně $8^{\circ}3^{\prime}$, což představuje stoupání asi $14{,}1\,\%$. (Stoupáním se rozumí hodnota tangenty úhlu přepočtená na procenta.)

• Alternativní řešení

  Za čas t ujede auto dráhu s = v·t, vystoupí tedy do výšky h = vt sin α. Jeho potenciální energie se zvýší o ΔE_p:

  $${\Delta}E_\mathrm{p}\,=\,mgh\,=\,mgvt\sin{\alpha}.$$

  Toto zvýšení energie se rovná práci, kterou za čas t vykonal motor:

  $$W\,=\,Pt.$$

  Platí tedy:

  $$\Delta E_\mathrm{p}\,=\,W\hspace{10px} \Rightarrow \hspace{10px}mgvt\,\sin\alpha\,=\,Pt.$$

  Odtud:

  $$\sin\alpha\,=\,\frac{P}{mgv}\,,$$

  což je vztah, který jsme dostali v našem prvním řešení.

• Výsledek

  $$\sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}\,=\,0{,}140\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,8^{\circ}3^{\prime}$$

  Kopec může stoupat maximálně pod úhlem přibližně $8^{\circ}3^{\prime}$, což představuje stoupání asi $14{,}1\,\%$.