Stoupající auto

Úloha číslo: 216

Auto o hmotnosti 1200 kg má motor o výkonu 33 kW. V jakém největším stoupání je schopno udržet rychlost 72 km·h−1?

  • Zápis

    m = 1200 kg hmotnost auta
    P = 33 kW výkon motoru
    v = 72 km·h−1 rychlost auta
    α = ? (°) sklon kopce
  • Doporučení

    Než se do příkladu pustíte, pročtěte si řešení úlohy Nákladní auto a kopec.

  • Rozbor

    Známe maximální výkon motoru auta a rychlost, kterou se auto pohybuje. Odtud můžeme zjistit maximální tažnou sílu motoru auta. Z podmínky, která musí platit pro výslednici sil působících na auto, pak spočítáme příslušný úhel stoupání.

    Alternativní možností je, vyjádřit si, o kolik se zvýší potenciální energie auta za určitý čas. Tento přírůstek potenciální energie je pak roven práci, kterou vykoná za tuto dobu motor auta při uvedeném výkonu.

  • Nápověda 1

    Jaké síly na auto během pohybu působí? Jaký mají směr? Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 2

    Co platí podle 1. Newtonova zákona pro výslednici těchto sil, jede-li auto stálou rychlostí?

  • Nápověda 3

    Rozložte tíhovou sílu \(\vec{F}_G\) na složku rovnoběžnou s vozovkou a na složku kolmou k vozovce. Dává 1. Newtonův zákon nějaké podmínky pro tyto složky?

  • Nápověda 4

    Umíte vyjádřit velikost složky F0 z tíhové síly? Použijte vhodnou goniometrickou funkci.

  • Nápověda 5

    Zbývá nám vyjádřit tažnou sílu motoru Fm. Máme zadaný výkon automobilu a jeho rychlost. Umíte z těchto údajů sílu Fm vyjádřit?

  • Nápověda 6

    Pomocí vztahů (4), (7), (8) vyjádřete úhel α.

  • Celkové řešení

    Na auto působí celkem tři síly (odpor vzduchu neuvažujeme):

    1) Tíhová síla \(\vec{F}_G\) působí svisle dolů.

    2) Reakční síla vozovky \(\vec{R}\) (auto tlačí do vozovky a podle 3. Newtonova zákona tlačí vozovka do auta). Tato síla působí kolmo na vozovku.

    3) Tahová síla motoru \(\vec{F}_m\), která působí ve směru pohybu. (Reálně touto silou působí vozovka na kola auta.)

    Síly působící na auto

    Protože se automobil pohybuje rovnoměrně přímočaře, musí být výslednice tří výše zmíněných sil nulová (nulový vektor):

    \[\vec{F}_G \,+\,\vec{R}\,+\,\vec{F}_m\,=\,\vec{o}.\]

    Rozklad tíhové síly \(\vec{F}_G\) na síly \(\vec{F}_0\) a \(\vec{F}_n\) ukazuje obrázek:

    Rozklad tíhové síly

    Z něj je také patrné, že má-li být výslednice všech sil působících na automobil nulová, musí být nulové také výslednice ve směru rovnoběžném s vozovkou a ve směru kolmém k vozovce. Musí tedy platit:

    \[\vec{F}_n\,+\,\vec{R}\,=\,\vec{o},\tag{1}\] \[\vec{F}_0\,+\,\vec{F}_m\,=\,\vec{o}.\tag{2}\]

    Protože síly \(\vec{F}_n\) a \(\vec{R}\) mají opačný směr a síly \(\vec{F}_0\) a \(\vec{F}_m\) mají také opačný směr, lze pro velikosti těchto sil psát:

    \[F_n\,-\,R\,=\,0,\tag{3}\] \[F_0\,-\,F_m\,=\,0.\tag{4}\]

    Pro další výpočet nám postačí pracovat s rovnicí (4).

    Z geometrie úlohy (viz obrázek výše) je patrné, že platí:

    \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{F_0}{F_G}.\]

    Tedy:

    \[F_0\,=\,F_G\sin{\alpha}.\tag{5}\]

    Tíhovou sílu FG můžeme pomocí hmotnosti automobilu vyjádřit jako:

    \[F_G\,=\,mg\,,\tag{6}\]

    kde g je tíhové zrychlení. Dosazením vztahu (6) do vztahu (5) dostáváme:

    \[F_0\,=\,mg\sin{\alpha}.\tag{7}\]

    Zbývá určit velikost síly \(\vec{F}_m\). Vyjdeme ze vztahu \(P\,=\,F_{m}v\), který platí pro tzv. okamžitý výkon, tedy pro okamžité hodnoty síly i rychlosti. Zřejmě nás tedy bude zajímat okamžitá velikost síly Fm při špičkovém výkonu P a rychlosti v, kterou lze vyjádřit jako:

    \[F_m\,=\,\frac{P}{v}.\tag{8}\]

    Dosadíme vztahy (7) a (8) do rovnice (4):

    \[F_0\,-\,F_m\,=\,0,\] \[mg\sin{\alpha}\,-\,\frac{P}{v}\,=\,0\,\Rightarrow\,sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}.\]

    Číselně:

    \[P\,=\,33\,\mathrm{kW}\,=\,33000\,\mathrm{W},\] \[m\,=\,1200\,\mathrm{kg},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[v\,=\,72\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,=\,20\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},\] \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}\,=\,\frac{33000}{1200{\cdot}9{,}81{\cdot}20}\,\dot{=}\,0{,}140\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,8^{\circ}3^{\prime}.\]

    Kopec tedy může stoupat maximálně pod úhlem přibližně \(8^{\circ}3^{\prime}\), což představuje stoupání asi \(14{,}1\,\%\). (Stoupáním se rozumí hodnota tangenty úhlu přepočtená na procenta.)

  • Alternativní řešení

    Za čas t ujede auto dráhu s = v·t, vystoupí tedy do výšky h = vt sin α. Jeho potenciální energie se zvýší o ΔEp:

    \[{\Delta}E_p\,=\,mgh\,=\,mgvt\sin{\alpha}.\]

    Toto zvýšení energie se rovná práci, kterou za čas t vykonal motor:

    \[ W\,=\,Pt.\]

    Platí tedy:

    \[\Delta E_{p}\,=\,W\hspace{10px} \Rightarrow \hspace{10px}mgvt\,\sin\alpha\,=\,Pt.\]

    Odtud:

    \[\sin\alpha\,=\,\frac{P}{mgv}\,,\]

    což je vztah, který jsme dostali v našem prvním řešení.

  • Výsledek

    \[\sin{\alpha}\,=\,\frac{P}{mgv}\,=\,0{,}140\,\Rightarrow\,\alpha\,\dot{=}\,8^{\circ}3^{\prime}\]

    Kopec může stoupat maximálně pod úhlem přibližně \(8^{\circ}3^{\prime}\), což představuje stoupání asi \(14{,}1\,\%\).

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze