Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Stoupající auto
Úloha číslo: 216
Auto o hmotnosti 1200 kg má motor o výkonu 33 kW. V jakém největším stoupání je schopno udržet rychlost 72 km·h−1?
Zápis
m = 1200 kg hmotnost auta P = 33 kW výkon motoru v = 72 km·h−1 rychlost auta α = ? (°) sklon kopce Doporučení
Než se do příkladu pustíte, pročtěte si řešení úlohy Nákladní auto a kopec.
Rozbor
Známe maximální výkon motoru auta a rychlost, kterou se auto pohybuje. Odtud můžeme zjistit maximální tažnou sílu motoru auta. Z podmínky, která musí platit pro výslednici sil působících na auto, pak spočítáme příslušný úhel stoupání.
Alternativní možností je vyjádřit si, o kolik se zvýší potenciální energie auta za určitý čas. Tento přírůstek potenciální energie je pak roven práci, kterou vykoná za tuto dobu motor auta při uvedeném výkonu.
Nápověda 1
Jaké síly na auto během pohybu působí? Jaký mají směr? Nakreslete si obrázek.
Nápověda 2
Co platí podle 1. Newtonova zákona pro výslednici těchto sil, jede-li auto stálou rychlostí?
Nápověda 3
Rozložte tíhovou sílu →FG na složku rovnoběžnou s vozovkou a na složku kolmou k vozovce. Dává 1. Newtonův zákon nějaké podmínky pro tyto složky?
Nápověda 4
Umíte vyjádřit velikost složky F0 z tíhové síly? Použijte vhodnou goniometrickou funkci.
Nápověda 5
Zbývá nám vyjádřit tažnou sílu motoru Fm. Máme zadaný výkon automobilu a jeho rychlost. Umíte z těchto údajů sílu Fm vyjádřit?
Nápověda 6
Pomocí vztahů (4), (7), (8) vyjádřete úhel α.
Celkové řešení
Na auto působí celkem tři síly (odpor vzduchu neuvažujeme):
1) Tíhová síla →FG působí svisle dolů.
2) Reakční síla vozovky →R (auto tlačí do vozovky a podle 3. Newtonova zákona tlačí vozovka do auta). Tato síla působí kolmo na vozovku.
3) Tahová síla motoru →Fm, která působí ve směru pohybu. (Reálně touto silou působí vozovka na kola auta.)
Protože se automobil pohybuje rovnoměrně přímočaře, musí být výslednice tří výše zmíněných sil nulová (nulový vektor):
→FG+→R+→Fm=→o.Rozklad tíhové síly →FG na síly →F0 a →Fn ukazuje obrázek:
Z něj je také patrné, že má-li být výslednice všech sil působících na automobil nulová, musí být nulové také výslednice ve směru rovnoběžném s vozovkou a ve směru kolmém k vozovce. Musí tedy platit:
→Fn+→R=→o, →F0+→Fm=→o.Protože síly →Fn a →R mají opačný směr a síly →F0 a →Fm mají také opačný směr, lze pro velikosti těchto sil psát:
Fn−R=0, F0−Fm=0.Pro další výpočet nám postačí pracovat s rovnicí (4).
Z geometrie úlohy (viz obrázek výše) je patrné, že platí:
sinα=F0FG.Tedy:
F0=FGsinα.Tíhovou sílu FG můžeme pomocí hmotnosti automobilu vyjádřit jako:
FG=mg,kde g je tíhové zrychlení. Dosazením vztahu (6) do vztahu (5) dostáváme:
F0=mgsinα.Zbývá určit velikost síly →Fm. Vyjdeme ze vztahu P=Fmv, který platí pro tzv. okamžitý výkon, tedy pro okamžité hodnoty síly i rychlosti. Zřejmě nás tedy bude zajímat okamžitá velikost síly Fm při špičkovém výkonu P a rychlosti v, kterou lze vyjádřit jako:
Fm=Pv.Dosadíme vztahy (7) a (8) do rovnice (4):
F0−Fm=0, mgsinα−Pv=0⇒sinα=Pmgv.Číselně:
P=33kW=33000W, m=1200kg, g=9,81m⋅s−2, v=72km⋅h−1=20m⋅s−1, sinα=Pmgv=330001200⋅9,81⋅20˙=0,140⇒α˙=8∘3′.Kopec tedy může stoupat maximálně pod úhlem přibližně 8∘3′, což představuje stoupání asi 14,1%. (Stoupáním se rozumí hodnota tangenty úhlu přepočtená na procenta.)
Alternativní řešení
Za čas t ujede auto dráhu s = v·t, vystoupí tedy do výšky h = vt sin α. Jeho potenciální energie se zvýší o ΔEp:
ΔEp=mgh=mgvtsinα.Toto zvýšení energie se rovná práci, kterou za čas t vykonal motor:
W=Pt.Platí tedy:
ΔEp=W⇒mgvtsinα=Pt.Odtud:
sinα=Pmgv,což je vztah, který jsme dostali v našem prvním řešení.
Výsledek
sinα=Pmgv=0,140⇒α˙=8∘3′Kopec může stoupat maximálně pod úhlem přibližně 8∘3′, což představuje stoupání asi 14,1%.