Sbírka řešených úloh

Rovnováha na kladce

Úloha číslo: 605

Na kladce o hmotnosti M jsou zavěšena dvě závaží o hmotnostech m₁ a m₂ způsobem zachyceným na obrázku. Kladka i závaží jsou v klidu. Jaký je poměr mezi r₁ a r₂, jestliže platí 4m₁=m₂?

• Zápis

  M	hmotnost kladky
  m1	hmotnost prvního závaží
  m2 = 4·m1	hmotnost druhého závaží
  r1	vnější poloměr kladky
  r2	vnitřní poloměr kladky
  \(\frac{r_1}{r_2}\) = ?	poměr vnějšího a vnitřního poloměru kladky

• Nápověda 1

  Soustava je v klidu. Nakreslete, jaké síly působí na kladku a závaží, a napište pro ně podmínky rovnováhy.

• Řešení nápovědy 1

  Těleso je v rovnováze právě tehdy, když je výslednice sil na ně působících nulová a výslednice momentů sil je rovněž nulová.

  

  Pro výslednice sil platí:

  závaží 1: \(F_1 - F_\mathrm{G1} = 0\), a tedy \(F_1 = m_1g\)

  závaží 2: \(F_2 - F_\mathrm{G2} = 0\), a tedy \(F_2 = m_2g\)

  kladka: \(F_\mathrm{g}+F_1\prime+F_2\prime-F_z = 0\)

  Podle 3. Newtonova zákona platí:

  \[F_1 = F_1\prime\,,\] \[F_2 = F_2\prime\,.\]

  Pro kladku napíšeme ještě druhou podmínku pro momenty sil vzhledem k ose procházející středem S:

  \[F_1r_1=F_2r_2\,.\]

  (Moment tíhové síly a síly, kterou působí závěs, je nulový.)

  Dosadíme za síly:

  \[m_1gr_1=m_2gr_2\,,\]

  g se pokrátí:

  \[m_1r_1=m_2r_2\,,\] \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{m_2}{m_1}\,,\] a protože \[4m_1=m_2\,,\] \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{4m_1}{m_1}\,,\] \[\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{1}\,.\]

• Odpověď

  Poměr poloměrů je \(\frac{r_1}{r_2}=\frac{4}{1}\).