Poměr hmotnosti Země a Slunce
Úloha číslo: 225
Určete poměr hmotností Slunce a Země, jestliže znáte:
- střední vzdálenost Slunce a Země,
- dobu oběhu Země kolem Slunce,
- střední vzdálenost Měsíce a Země,
- dobu oběhu Měsíce kolem Země.
Předpokládejte, že Země kolem Slunce i Měsíc kolem Země obíhají po kruhové dráze.
Zápis
r1 = 150·106 km střední vzdálenost Slunce a Země T1 = 365 dní doba oběhu Země kolem Slunce r2 = 384000 km střední vzdálenost Měsíce a Země T2 = 27 dní doba oběhu Měsíce kolem Země Ms/Mz = ? poměr hmotností Slunce a Země Nápověda 1 – podobné příklady
Tato úloha se věnuje pohybu v centrálním gravitačním poli (Slunce, resp. Země). Tímto pohybem se zabývají například úlohy Dostředivé zrychlení rakety a Dostředivé zrychlení Země – projděte si je a zrekapitulujte si, jaké síly na tělesa v centrálním gravitačním poli působí.
Nápověda 2 – oběh Země kolem Slunce
Jak určíte velikost gravitační síly působící na Zemi v gravitačním poli Slunce? (Další gravitační vlivy zanedbáváme.) Čemu je podle řešení předchozí nápovědy rovna? Vyjádřete z rovnosti hmotnost Slunce.
Nápověda 3 – oběh Měsíce kolem Země
Jak určíte gravitační sílu působící na Měsíc v gravitačním poli Země? (Další gravitační vlivy zanedbáváme.) Čemu je podle řešení nápovědy 1 rovna? Vyjádřete z rovnosti hmotnost Země. Postupujte stejně jako při vyjadřování hmotnosti Slunce.
Nápověda 4 – výsledný podíl
Vypočtěte podíl získaných hmotností Slunce a Země.
Celkové řešení
Naše úloha je zaměřena na pohyb v centrálním gravitačním poli. Při takovém pohybu působí na obíhající těleso (z pohledu inerciální vztažné soustavy) POUZE gravitační síla, která současně hraje roli síly dostředivé (a zakřivuje tedy trajektorii obíhajícího tělesa). Všechny výpočty v této úloze jsou postaveny na rovnosti gravitační a dostředivé síly.
Výpočet hmotnosti Slunce:
Podle Newtonova gravitačního zákona je gravitační síla Fg1, kterou působí Slunce na Zemi (a také Země na Slunce), rovna
\[F_\mathrm{g_1}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{s}M_\mathrm{z}}{r_1^2}\,,\tag{1}\]kde κ je gravitační konstanta, Ms hmotnost Slunce a Mz hmotnost Země.
Tato síla současně plní roli dostředivé síly Fd1, která působí na Zemi při pohybu po kružnici kolem Slunce, a lze ji vypočítat jako:
\[F_\mathrm{d_1}\,=\,M_\mathrm{z}{\omega}_1^2r_1\,,\tag{2}\]kde ω1 je úhlová rychlost pohybu Země kolem Slunce.
Z rovnosti vztahů (1) a (2) dostáváme:
\[\kappa\frac{M_\mathrm{s}M_\mathrm{z}}{r_1^2}\,=\,M_\mathrm{z}{\omega}_1^2r_1\,.\]Úhlovou rychlost ω1 lze pomocí doby oběhu T1 vyjádřit jako:
\[{\omega}_1\,=\,\frac{2\pi}{T_1}\,.\]Tedy:
\[\kappa\frac{M_\mathrm{s}M_\mathrm{z}}{r_1^2}\,=\,M_\mathrm{z}(\frac{2\pi}{T_1})^2r_1\,.\]Odtud:
\[M_\mathrm{s}\,=\,\frac{r_1^3}{\kappa}(\frac{2\pi}{T_1})^2\,.\tag{3}\]
Výpočet hmotnosti Země:
Řešení je zcela analogické výpočtu hmotnosti Slunce.
Podle Newtonova gravitačního zákona je gravitační síla Fg2, kterou působí Země na Měsíc (a také Měsíc na Zemi), rovna
\[F_\mathrm{g_2}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{z}M_\mathrm{m}}{r_2^2}\,,\tag{4}\]kde κ je gravitační konstanta, Mz hmotnost Země a Mm hmotnost Měsíce.
Tato síla současně plní roli dostředivé síly Fd2, která působí na Měsíc při pohybu po kružnici kolem Země, a lze ji vypočítat jako:
\[F_\mathrm{d_2}\,=\,M_\mathrm{m}{\omega}_2^2r_2\,,\tag{5}\]kde ω2 je úhlová rychlost pohybu Měsíce kolem Země.
Z rovnosti vztahů (4) a (5) dostáváme:
\[\kappa\frac{M_\mathrm{z}M_\mathrm{m}}{r_2^2}\,=\,M_\mathrm{m}{\omega}_2^2r_2\,.\]Úhlovou rychlost ω2 lze pomocí doby oběhu T2 vyjádřit jako:
\[{\omega}_2\,=\,\frac{2\pi}{T_2}\,.\]Tedy:
\[\kappa\frac{M_\mathrm{z}M_\mathrm{m}}{r_2^2}\,=\,M_\mathrm{m}(\frac{2\pi}{T_2})^2r_2\,.\]Odtud:
\[M_\mathrm{z}\,=\,\frac{r_2^3}{\kappa}(\frac{2\pi}{T_2})^2\,.\tag{6}\]
Výpočet podílu:
Do výsledného podílu hmotností dosadíme ze vztahů (3) a (6):
\[\frac{M_\mathrm{s}}{M_\mathrm{z}}\,=\,\frac{\frac{r_1^3}{\kappa}(\frac{2\pi}{T_1})^2}{\frac{r_2^3}{\kappa}(\frac{2\pi}{T_2})^2}\,=\,(\frac{r_1}{r_2})^3(\frac{T_2}{T_1})^2\,.\]Číselně (veličiny nemusíme převádět na základní jednotky, jde o podíl):
\[r_1\,=\,150{\cdot}10^6\,\mathrm{km},\] \[T_1\,=\,365\,\mathrm{d},\] \[r_2\,=\,384\,000\,\mathrm{km},\] \[T_2\,=\,27\,\mathrm{d},\]
\[\frac{M_\mathrm{s}}{M_\mathrm{z}}\,=\,(\frac{r_1}{r_2})^3(\frac{T_2}{T_1})^2\,=\,(\frac{150{\cdot}10^6}{384\,000})^3(\frac{27}{365})^2\,\dot{=}\,326\,000.\]Poznámka – přesnost výpočtu
Vypočtený poměr neodpovídá přesné hodnotě, kterou bychom vypočítali z tabulkových údajů o hmotnosti Země a Slunce.
Dle tabulek:
\[\frac{M_\mathrm{s}}{M_\mathrm{z}}\,=\,333\,400\,.\]Hlavním důvodem naší nepřesnosti je předpoklad, že oběžné dráhy Země, resp. Měsíce jsou kruhové. Rozdíl tabulkové a námi vypočítané hodnoty činí ale pouhá 2,2 %.
Výsledek
Poměr hmotností Slunce a Země je:
\[\frac{M_\mathrm{s}}{M_\mathrm{z}}\,=\,(\frac{r_1}{r_2})^3(\frac{T_2}{T_1})^2\,\dot{=}\,326\,000\,.\]
