Pohyb částice I
Úloha číslo: 114
Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:
\[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t^2\vec{i}+(4\,\mathrm{m}-20\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t^2)\vec{j},\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.
Prozkoumejte pohyb částice podle následujících bodů:
a) Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?
b) V jakém čase přechází částice osu y?
c) V jakém čase přechází částice osu x?
d) Jak se mění rychlost částice a její složky s časem?
e) Jaké pohyby vykonává částice ve směrech os x, y, z?
f) Jak se mění velikost rychlosti částice s časem?
g) Je pohyb částice rovnoměrný?
h) Jak se mění zrychlení částice a jeho složky s časem?
i) Jak se mění velikost zrychlení částice s časem?
j) Jak velkou rychlost a zrychlení bude mít částice v okamžiku, kdy bude procházet osou:
1) x, 2) y?
Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.:
\[y\,=\,1\,\mathrm{m} - 2\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\cdot t.\]Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.
Zápis
\(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\)
jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x, y, z \[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\ t^2\vec{i}+(4-20t^2)\vec{j}\] polohový vektor částice v čase t t1 = ? (s) čas, ve kterém částice přechází osu y t2 = ? (s) čas, ve kterém částice přechází osu x v = ? (m·s-1) rychlost částice v okamžiku, kdy přechází osu x (resp. y) a = ? (m·s-2) zrychlení částice v okamžiku, kdy přechází osu x (resp. y) Nápověda 1 pro a): Pohyb částice ve směrech souřadnicových os
Jednotlivé vztahy pro pohyb částice ve směrech souřadnicových os získáte snadno z polohového vektoru v zadání.
Nápověda 2 pro b): Čas, ve kterém částice přechází osu y
Jak zjistíte čas t1, ve kterém bude částice přecházet osu y?
Jaká bude v tomto okamžiku hodnota souřadnice x?
Nápověda 3 pro c): Čas, ve kterém částice přechází osu x
Jak zjistíte čas t2, ve kterém bude částice přecházet osu x?
Jaká bude v tomto okamžiku hodnota souřadnice y?
Nápověda 4 pro d): Rychlost částice
Znáte příslušné vztahy popisující pohyb částice ve směrech souřadnicových os.
Jak z nich a z definice rychlosti získáte průběh rychlosti částice?
Nápověda 5 pro e): Pohyb částice ve směrech souřadnicových os
Jaké pohyby vykonává částice ve směrech os x, y, z?
Podívejte se, jakými vztahy je pohyb částice ve směrech souřadnicových os popsán a jak se mění s časem souřadnice rychlosti.
Nápověda 6 pro f): Velikost rychlosti částice
Znáte průběh rychlosti částice a jejích souřadnic. Jak zjistíte průběh její velikosti?
Nápověda 7 pro g): Rovnoměrnost pohybu částice
Uvědomte si, kdy je pohyb částice rovnoměrný. Co platí pro velikost její rychlosti?
Nápověda 8 pro h): Zrychlení částice
Znáte složky rychlosti částice ve směrech souřadnicových os.
Jak z nich a z definice zrychlení získáte průběh zrychlení částice?
Nápověda 9 pro i): Velikost zrychlení částice
Znáte průběh zrychlení částice a jeho souřadnic. Jak zjistíte průběh jeho velikosti?
Nápověda 10 pro j): Rychlost a zrychlení částice při průchodu osami
Pro výpočet velikosti rychlosti částice stačí znát vztah popisující průběh velikosti rychlosti a příslušný čas, ve kterém bude částice přecházet osu x (resp. osu y). Obojí znáte z předchozích nápověd (3 a 6).
Obdobně pro výpočet velikosti zrychlení. Potřebujete i v tomto případě znát časy průchodů osami?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
a)
Polohový vektor můžeme zapsat jako:
\[\vec{r}\left(t\right)\,=\, x\vec{i}+ y\vec{j}+ z\vec{k}\,,\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.
Odtud:
\[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[z\left(t\right)\,=\,0\,.\]b)
Částice bude přecházet osu y v okamžiku, kdy bude její x-ová souřadnice rovna 0:
\[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[0\,=\,15t_1^{2}\,,\] \[t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]c)
Částice bude přecházet osu x v okamžiku, kdy bude její y-ová souřadnice rovna 0:
\[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[0\,=\,4-20t_2^{2}\,,\] \[t_2^{2}\,=\,\frac{1}{5}\,,\] \[t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\](Matematické řešení \(t_2\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\) nemá fyzikální smysl.)
d)
Z definice rychlosti dostáváme:
\[\vec{v}\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}y\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{k}\,,\] \[v_\mathrm{x}\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(15t^{2}\right)\,=\, 30t\,,\] \[v_\mathrm{y}\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(4-20t^{2}\right)\,=\, -40t \,,\] \[v_\mathrm{z}\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(0\right)\,=\,0\,,\] \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,30t\vec{i}+(-40t)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.
e)
V x-ovém směru:
\[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[v_\mathrm{x}\left(t\right)\,=\,30t\,.\]Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený.
V y-ovém směru:
\[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[v_\mathrm{y}\left(t\right)\,=\,-40t\,.\]Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený v opačném směru.
V z-ovém směru:
\[z\left(t\right)\,=\,0\,,\] \[v_\mathrm{z}\left(t\right)\,=\,0\,.\]Částice je v klidu.
f)
Z definice velikosti rychlosti dostáváme:
\[v\left(t\right)\,=\,\left|\vec{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^{2}\left(t\right)+v_\mathrm{y}^{2}\left(t\right)+v_\mathrm{z}^{2}\left(t\right)}\,,\] \[v\left(t\right)\,=\,\sqrt{\left(900t^{2}+1600t^{2}\right)}\,=\,\sqrt{\left(2500t^{2}\right)}\,=\,50\left|t\right|\,=\,50t\,,\](čas nabývá nezáporných hodnot)
\[v\left(t\right)\,=\, 50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]g)
Částice vykonává rovnoměrný pohyb, je-li velikost vektoru rychlosti konstantní.
V našem případě je velikost rychlosti lineární funkcí času:
\[v\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]Pohyb částice tedy není rovnoměrný (jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený).
h)
Z definice zrychlení dostáváme:
\[\vec{a}\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{x}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{y}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{z}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{k}\,,\] \[a_\mathrm{x}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_\mathrm{x}}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(30t\right)\,=\, 30\,,\] \[a_\mathrm{y}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-40t\right)\,=\, -40 \,,\] \[a_\mathrm{z}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(0)\,=\,0\,,\] \[\vec{a}\left(t\right)\,=\,30\vec{i}+(-40)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.
i)
\[a\left(t\right)\,=\,\left|\vec{a}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{\left(a_\mathrm{x}^{2}\left(t\right)+a_\mathrm{y}^{2}\left(t\right)+a_\mathrm{z}^{2}\right)}\,,\] \[a\left(t\right)\,=\,\sqrt{\left(900+1600\right)}\,=\,\sqrt{\left(2500\right)}\,=\,50\,,\] \[a\left(t\right),=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]j)
1) Částice prochází osu x v okamžiku, kdy:
\[t\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]Ze vztahu pro velikost rychlosti a zrychlení dostáváme:\[v\,=\,50t\,,\] \[v\,=\,50(\frac{1}{\sqrt{5}})\,,\] \[v\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]Velikost zrychlení je konstantní, čas průchodu osou znát tedy nepotřebujeme.
2) Částice prochází osu y v okamžiku, kdy:
\[t\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]Obdobně jako u 1):\[v\,=\,50{\cdot}0\,,\] \[v\,=\,0\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]Velikost zrychlení je konstantní, čas průchodu osou znát nepotřebujeme.
Odpověď
Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.
a)
\[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[z\left(t\right)\,=\,0\,.\]b)
Částice bude přecházet osu y v okamžiku:
\[t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]c)
Částice bude přecházet osu x v okamžiku:
\[t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,0{,}45\,\mathrm{s}\,.\]d)
\[v_\mathrm{x}\left(t\right)\,=\,30t\,,\] \[v_\mathrm{y}\left(t\right)\,=\,-40t\,,\] \[v_\mathrm{z}\left(t\right)\,=\,0\,,\] \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,30t\vec{i}+\left(-40t\right)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.
e)
V x-ovém směru: pohyb rovnoměrně zrychlený.
V y-ovém směru: pohyb rovnoměrně zrychlený v opačném směru.
V z-ovém směru: částice je v klidu.
f)
\[v\left(t\right)\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}t\,.\]g)
Velikost rychlosti je lineární funkcí času:
\[v\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]Pohyb částice tedy není rovnoměrný (jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený).
h)
\[a_\mathrm{x}\,=\,30\,,\] \[a_\mathrm{y}\,=\,-40\,,\] \[a_\mathrm{z}\,=\,0\,,\] \[\vec{a}\left(t\right)\,=\,30\vec{i}+(-40)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.
i)
\[a\left(t\right)\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]j)
1) Částice prochází osu x v okamžiku, kdy:
\[t\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]Tedy:\[v\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]2) Částice prochází osu y v okamžiku, kdy:\[t\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]Tedy:\[v\,=\,0\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]
