Pohyb částice I

Úloha číslo: 114

Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:

\[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t^2\vec{i}+(4\,\mathrm{m}-20\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t^2)\vec{j}\]

kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.

Prozkoumejte pohyb částice podle následujících bodů:

a) Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?

b) V jakém čase přechází částice osu y?

c) V jakém čase přechází částice osu x?

d) Jak se mění rychlost částice a její složky s časem?

e) Jaké pohyby vykonává částice ve směrech os x, y, z?

f) Jak se mění velikost rychlosti částice s časem?

g) Je pohyb částice rovnoměrný?

h) Jak se mění zrychlení částice a jeho složky s časem?

i) Jak se mění velikost zrychlení částice s časem?

j) Jak velkou rychlost a zrychlení bude mít částice v okamžiku, kdy bude procházet osou:

1) x     2) y?

 

Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.:

\[y\,=\,1\,\mathrm{m} - 2\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\cdot t\]

Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  • Zápis

    \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\)

    jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x, y, z
    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\ t^2\vec{i}+(4-20t^2)\vec{j}\] polohový vektor částice v čase t
    t1 = ? (s) čas, v kterém částice přechází osu y
    t2 = ? (s) čas, v kterém částice přechází osu x
    v = ? (m·s-1) rychlost částice v okamžiku, kdy přechází osu x (resp. y)
    a = ? (m·s-2) zrychlení částice v okamžiku, kdy přechází osu x (resp. y)
  • Nápověda 1 pro a): Pohyb částice ve směrech souřadnicových os

    Jednotlivé vztahy pro pohyb částice ve směrech souřadnicových os získáte snadno z polohového vektoru v zadání.

  • Nápověda 2 pro b): Čas, ve kterém částice přechází osu y

    Jak zjistíte čas t1, ve kterém bude částice přecházet osu y?

    Jaká bude v tom okamžiku hodnota souřadnice x?

  • Nápověda 3 pro c): Čas, ve kterém částice přechází osu x

    Jak zjistíte čas t2, ve kterém bude částice přecházet osu x?

    Jaká bude v tom okamžiku hodnota souřadnice y?

  • Nápověda 4 pro d): Rychlost částice

    Znáte příslušné vztahy popisující pohyb částice ve směrech souřadnicových os.

    Jak z nich a z definice rychlosti získáte průběh rychlosti částice?

  • Nápověda 5 pro e): Pohyb částice ve směrech souřadnicových os

    Jaké pohyby vykonává částice ve směrech os x, y, z?

    Podívejte se, jakými vztahy je pohyb částice ve směrech souřadnicových os popsán a jak se mění s časem souřadnice rychlosti.

  • Nápověda 6 pro f): Velikost rychlosti částice

    Znáte průběh rychlosti částice a jejích souřadnic. Jak zjistíte průběh její velikosti?

  • Nápověda 7 pro g): Rovnoměrnost pohybu částice

    Uvědomte si, kdy je pohyb částice rovnoměrný. Co platí pro velikost její rychlosti?

  • Nápověda 8 pro h): Zrychlení částice

    Znáte složky rychlosti částice ve směrech souřadnicových os.

    Jak z nich a z definice zrychlení získáte průběh zrychlení částice?

  • Nápověda 9 pro i): Velikost zrychlení částice

    Znáte průběh zrychlení částice a jeho souřadnic. Jak zjistíte průběh jeho velikosti?

  • Nápověda 10 pro j): Rychlost a zrychlení částice při průchodu osami

    Pro výpočet velikosti rychlosti částice stačí znát vztah popisující průběh velikosti rychlosti a příslušný čas, ve kterém bude částice přecházet osu x (resp. osu y). Obojí znáte z předchozích nápověd (3 a 6).

    Obdobně pro výpočet velikosti zrychlení. Potřebujete i v tomto případě znát časy průchodů osami?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    a)

    Polohový vektor můžeme zapsat jako:

    \[\vec{r}\left(t\right)\,=\, x\vec{i}+ y\vec{j}+ z\vec{k}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

    Odtud:

    \[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[z\left(t\right)\,=\,0\,.\]

     

    b)

    Částice bude přecházet osu y v okamžiku, kdy bude její x-ová souřadnice rovna 0:

    \[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[0\,=\,15t_1^{2}\,,\] \[t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]

     

    c)

    Částice bude přecházet osu x v okamžiku, kdy bude její y-ová souřadnice rovna 0:

    \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[0\,=\,4-20t_2^{2}\,,\] \[t_2^{2}\,=\,\frac{1}{5}\,,\] \[t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]

    (Matematické řešení \(t_2\,=\,\frac{-1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\) nemá fyzikální smysl.)

     

    d)

    Z definice rychlosti dostáváme:

     

    \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}y\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{k}\,,\] \[v_x\,=\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(15t^{2}\right)\,=\, 30t\,,\] \[v_y\,=\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(4-20t^{2}\right)\,=\, -40t \,,\] \[v_z\,=\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(0\right)\,=\,0\,,\] \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,30t\vec{i}+(-40t)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    e)

    x-ovém směru:

    \[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[v_x\left(t\right)\,=\,30t\,.\]

    Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený.

     

    y-ovém směru:

    \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[v_y\left(t\right)\,=\,-40t\,.\]

    Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený v opačném směru.

     

    z-ovém směru:

    \[z\left(t\right)\,=\,0\,,\] \[v_z\left(t\right)\,=\,0\,.\]

    Částice je v klidu.

     

    f)

    Z definice velikosti rychlosti dostáváme:

     

    \[v\left(t\right)\,=\,\left|\vec{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}\left(t\right)+v_y^{2}\left(t\right)+v_z^{2}\left(t\right)}\,,\] \[v\left(t\right)\,=\,\sqrt{\left(900t^{2}+1600t^{2}\right)}\,=\,\sqrt{\left(2500t^{2}\right)}\,=\,50\left|t\right|\,=\,50t\,.\]

    (čas nabývá nezáporných hodnot)

    \[v\left(t\right)\,=\, 50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]

     

    g)

    Částice vykonává rovnoměrný pohyb, je-li velikost vektoru rychlosti konstantní.

    V našem případě je velikost rychlosti lineární funkcí času:

    \[v\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]

    Pohyb částice tedy není rovnoměrný ( jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený).

     

    h)

    Z definice zrychlení dostáváme:

     

    \[\vec{a}\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}\vec{v}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}\left(t\right)}{\mathrm{d}t^{2}}\,=\,\frac{\mathrm{d}v_x\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{i}+\frac{\mathrm{d}v_y\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{j}+\frac{\mathrm{d}v_z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\vec{k}\,,\] \[a_x\,=\,\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(30t\right)\,=\, 30\,,\] \[a_y\,=\,\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(-40t\right)\,=\, -40 \,,\] \[a_z\,=\,\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(0)\,=\,0\,,\] \[\vec{a}\left(t\right)\,=\,30\vec{i}+(-40)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    i)

    \[a\left(t\right)\,=\,\left|\vec{a}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{\left(a_x^{2}\left(t\right)+a_y^{2}\left(t\right)+a_z^{2}\right)}\,,\] \[a\left(t\right)\,=\,\sqrt{\left(900+1600\right)}\,=\,\sqrt{\left(2500\right)}\,=\,50\,,\] \[a\left(t\right),=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

     

    j)

    1) Částice prochází osu x v okamžiku, kdy:

    \[t\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]

    Ze vztahu pro velikost rychlosti a zrychlení dostáváme:

    \[v\,=\,50t\,,\] \[v\,=\,50(\frac{1}{\sqrt{5}})\,,\] \[v\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

    Velikost zrychlení je konstantní, čas průchodu osou znát tedy nepotřebujeme.

     

    2) Částice prochází osu y v okamžiku, kdy:

    \[t\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]

    Obdobně jako u 1):

    \[v\,=\,50{\cdot}0\,,\] \[v\,=\,0\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

    Velikost zrychlení je konstantní, čas průchodu osou znát nepotřebujeme.

  • Odpověď

    Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.

     

    a)

    \[x\left(t\right)\,=\,15t^{2}\,,\] \[y\left(t\right)\,=\,4-20t^{2}\,,\] \[z\left(t\right)\,=\,0\,.\]

     

    b)

    Částice bude přecházet osu y v okamžiku:

    \[t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]

     

    c)

    Částice bude přecházet osu x v okamžiku:

    \[t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,\dot{=}\,0{,}45\,\mathrm{s}\,.\]

     

    d)

    \[v_x\left(t\right)\,=\,30t\,,\] \[v_y\left(t\right)\,=\,-40t\,,\] \[v_z\left(t\right)\,=\,0\,,\] \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,30t\vec{i}+\left(-40t\right)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    e)

    x-ovém směru: pohyb rovnoměrně zrychlený.

    y-ovém směru: pohyb rovnoměrně zrychlený v opačném směru.

    z-ovém směru: částice je v klidu.

     

    f)

    \[v\left(t\right)\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}t\,.\]

     

    g)

    Velikost rychlosti je lineární funkcí času:

    \[v\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\cdot t\,.\]

    Pohyb částice tedy není rovnoměrný (jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený).

     

    h)

    \[a_x\,=\,30\,,\] \[a_y\,=\,-40\,,\] \[a_z\,=\,0\,,\] \[\vec{a}\left(t\right)\,=\,30\vec{i}+(-40)\vec{j}+0\vec{k}\,,\]

    kde \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os.

     

    i)

    \[a\left(t\right)\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

     

    j)

    1) Částice prochází osu x v okamžiku, kdy:

    \[t\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]

    Tedy:

    \[v\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

    2) Částice prochází osu y v okamžiku, kdy:

    \[t\,=\,0\,\mathrm{s}\,.\]

    Tedy:

    \[v\,=\,0\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,,\] \[a\,=\,50\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze