Volně padající kámen

Úloha číslo: 126

Volně padající kámen má v jednom bodě své dráhy okamžitou rychlost 5 m·s−1 a v jiném, níže položeném bodě, má rychlost 8 m·s−1. Za jaký čas doletí kámen z prvního bodu do druhého a jak daleko jsou oba dva body od sebe vzdálené?

  • Zápis

    v1 = 5 m·s−1 rychlost kamenu v jednom bodě
    v2 = 8 m·s−1 rychlost kamenu v níže položeném bodě
    t = ? (s) čas, za který kámen doletí z prvního bodu do druhého
    s = ? (m) vzdálenost bodů
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1: Čas doletu tělesa z prvního bodu do druhého

    Jakým pohybem se kámen pohybuje? Připomeňte si, jaký vztah platí mezi velikostí rychlosti a dobou tohoto pohybu.

    Jak vyjádříte čas doletu kamene z jednoho bodu své dráhy do druhého? Znáte všechny veličiny, které k výpočtu potřebujete?

  • Nápověda 2 : Vzdálenost bodů

    Víte, že se kámen pohyboval volným pádem. Jak zjistíte vzdálenost dvou bodů, kterými proletěl, neboli dráhu, kterou uletěl z prvního bodu do druhého?

    Při výpočtu využijte vztahy (1), (2) z minulé nápovědy.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Čas letu z bodu 1 do bodu 2

    Kámen se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem.

    Pro závislost rychlosti volného pádu na čase platí: \(v(t) \,=\, gt.\)

    Obrázek celé situace

    Čas t, za který se přemístí kámen z jednoho bodu do druhého, se rovná rozdílu časů, ve kterých byl kámen v bodě 2 a v bodě 1 (viz obrázek), tedy:

    \[t\,=\,t_2\,-\,t_1.\]

     

    Ze zadání víme, že se jedná o volný pád. Rychlost v bodě 1 je rovna:

    \[v_1 \,=\, gt_1\,.\]

    Odtud:

    \[t_1 \,=\, \frac{v_1}{g}\,.\tag{1}\]

    Rychlost v bodě 2 je rovna:

    \[v_2 \,=\, gt_2\,.\]

    Odtud:

    \[t_2 \,=\, \frac{v_2}{g}\,.\tag{2}\]

    Pro čas t dostaneme:

    \[t\,=\,\frac{v_2}{g}\,-\,\frac{v_1}{g}\,=\,\frac{v_2\,-\,v_1}{g}\,.\]

    Číselně:

    \[t\,=\,\frac{8\,-\,5}{9{,}81}\,\mathrm{s}\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]

     

    Vzdálenost bodů 1 a 2

    Pro závislost dráhy volného pádu na čase platí:

    \[s \,=\, \frac{1}{2}\,gt^{2}\,.\]

    Vzdálenost bodů 1 a 2 určíme jako rozdíl dráhy, kterou kámen urazil do bodu 2 a dráhy, kterou urazil do bodu 1.

    \[s\,=\,s_2\,-\,s_1\,=\,\frac{gt_2^{2}}{2}\,-\,\frac{gt_1^{2}}{2}\,=\,\frac{g}{2}\,\left(t_2^{2}\,-\,t_1^{2}\right).\]

    Za t2 a t1 dosadíme ze vztahů (1) a (2).

    \[s\,=\,\frac{g}{2}\,\left(\frac{v_2^{2}}{g^{2}}\,-\,\frac{v_1^{2}}{g^{2}}\right)\,=\,\frac{1}{2g}(v_2^{2}\,-\,v_1^{2}).\]

    Číselně:

    \[s\,=\,\frac{1}{2{\cdot} 9{,}81}\cdot(8^{2}-5^{2})\,\mathrm{m}\,\dot=\,2\,\mathrm{m}\,.\]
  • Odpověď

    Kámen doletí z prvního do druhého bodu za čas

    \[t\,=\,\frac{v_2\,-\,v_1}{g}\,\dot=\,0{,}3\,\mathrm{s}\,.\]

    Vzdálenost dvou bodů, kterými kámen proletěl, je

    \[s\,=\,\frac{1}{2g}(v_2^{2}\,-\,v_1^{2})\,\dot=\,2\,\mathrm{m}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mičkal, K.: Sbírka úloh z technické mechaniky, SNTL, Praha 1988
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze