Stěhování nákladu

Úloha číslo: 2266

Náklad o hmotnosti \(20\,\mathrm{kg}\) přesunujeme konstantní rychlostí ze stolu vysokého \(1{,}2\,\mathrm{m}\) po nakloněném prkně po dráze \(2{,}4\,\mathrm{m}\) na podlahu. Koeficient tření je \(0{,}5\).

a) Je nutné náklad tlačit dolů nebo přidržovat zpět? Jak velkou silou?

b) Nechť je nyní náklad přesouván z podlahy na stůl působením síly \(200\,\mathrm{N}\) rovnoběžné s prknem. Jakou rychlost, kinetickou energii a potenciální energii bude mít náklad na horním konci prkna?

c) Jak velká je práce vykonaná třecí silou?

  • Zápis a rozbor

    \(m=20\,\mathrm{kg}\)…hmotnost nákladu

    \(s=2{,}4\,\mathrm{m}\)…délka prkna

    \(h=1{,}2\,\mathrm{m}\)…výška stolu

    \(f=0{,}5\)…koeficient tření

    \(\vec {v_0}= konst.\) …přesun konstantní rychlostí

    \(F_1=200\,\mathrm{N}\)…síla, kterou posouváme bednu

    Obrázek situace:

    Obr. 1: Náčrt situace: Bedna na prkně

    Bedna je umístěna na nakloněné rovině (prkně). Působí na ni tedy několik sil, které budou ovlivňovat její pohyb. Pokud je bedna v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, je výslednice všech sil, které na bednu působí, nulová.

    Působí-li na bednu nenulová výsledná síla, udává jí zrychlení podle druhého Newtonova zákona. Bedna se pohybuje rovnoměrně zrychleným/zpomaleným pohybem.

    Abychom mohli určit potenciální energii, musíme zvolit její nulovou hladinu. Nechť prochází těžištěm bedny v situaci, kdy se dotkla podlahy (viz obr.). Kinetická energie závisí na rychlosti, která se v případě rovnoměrně zrychleného pohybu s rostoucí uraženou drahou zvyšuje.

    Práci konáme, jestliže působíme silou po dráze. Pozor, působí-li síla kolmo ke směru pohybu, práci nekonáme!

  • Nápověda a)

    Rozmyslete si, jaké všechny síly na bednu působí a zda mají vliv na její pohyb po prkně. Chceme-li, aby se bedna pohybovala konstantní rychlostí, co to znamená pro výslednici sil?

  • Nápověda b)

    Působí-li na bednu nenulová výslednice sil, co můžeme říct o typu jejího pohybu? Co platí pro dráhu a rychlost takového pohybu?

  • Nápověda c)

    Třecí síla je po dobu pohybu konstantní a působí rovnoběžně se směrem posunu bedny. Jakým způsobem budeme v takovém případě počítat práci?

  • Řešení a)

    Na bednu působí tíhová síla \(\vec {F_G}\) v těžišti, třecí síla \(\vec{F_t}\) mezi bednou a podložkou proti směru pohybu bedny, tlaková síla podložky \(\vec N\) (kolmá na podložku). Nakreslíme si obrázek a do něj vyznačíme síly:

    Obr. 2: Síly působící na bednu

    Bednu máme po nakloněné rovině posunovat konstantní rychlostí. To znamená, že rychlost bedny se nemění a její pohyb je tedy rovnoměrný. Předpokládáme, že prkno je rovné a bedna se pohybuje po přímce - pohyb je přímočarý.

    Rovnoměrný přímočarý pohyb nastane pouze tehdy, je-li výslednice sil působících na bednu nulová. Rozdělíme síly na rovnoběžné s prknem a kolmé k prknu. Vidíme, že tíhovou sílu nemůžeme hned do jedné z těchto skupin zařadit, proto ji do požadovaných směrů rozložíme. Rozklad uděláme pomocí doplnění na rovnoběžník. Složky tíhové síly v daných směrech označíme \(F_{Gx}\) a \(F_{Gy}\).

    Obr. 3: Rozložení gravitační síly do složek

    Věnujme se nejprve silám, které jsou kolmé k prknu. Jejich výslednice je nulová, protože se bedna v tomto směru nepohybuje. Velikosti sil \(F_{Gy}\) a \(N\), působících v opačných směrech, musí být tedy stejné:

    \[F_{Gy}=N\tag{1}\]

    Zda bude bednu potřeba tlačit nebo brzdit poznáme podle výslednice sil rovnoběžných s prknem. Vypočteme velikosti sil \({F_t}\) a \(F_{Gx}\). Bude-li větší třecí síla, musíme bednu tlačit, v opačném případě ji musíme brzdit.

    Pro velikost třecí síly platí:

    \[F_t = Nf,\]

    kde \(N\) je obecně síla kolmá k podložce. Podle (1) můžeme psát

    \[F_t=F_{Gy}f\tag{2}\]

    Z obrázku (Obr. 2) a podobnosti trojúhelníků vidíme, že úhel \(\alpha\) svírají \(F_{Gy}\) s \(F_{G}\). Velikost úhlu \(\alpha\) jsme odvodili v poznámce.

    S využitím goniometrických funkcí vyjádříme

    \[F_{Gy}=F_{G} \cos{\alpha}\tag{3}\]

    \[F_{Gx}=F_{G} \sin{\alpha}\tag{4}\]

    Dosazením do (2)(3) a použitím (4) dostáváme:

    \[F_t=fF_{G} \cos{\alpha}=fmg\cos{\alpha}\]

    \[F_{Gx}=F_{G} \sin{\alpha}=mg\sin{\alpha}\]

    Dosadíme hodnoty a vypočteme

    \[F_t=0{,}5 {\cdot} 20 \cdot 10\cdot \cos{30^{\circ}} \,\mathrm{N}=100\cdot \frac{\sqrt 3}{2} \,\mathrm{N}=\sqrt 3 {\cdot} 50 \,\mathrm{N} \doteq 86{,}6 \,\mathrm N\]

    \[F_{Gx}=20 {\cdot} 10 \cdot \sin{30^{\circ}}\,\mathrm N = 200 \cdot \frac{1}{2} \,\mathrm{N}=100 \,\mathrm{N}\]

    Dospěli jsme tedy k výsledku. Složka tíhové síly rovnoběžná s prknem je větší než třecí síla. Bedna se bude pohybovat zrychleně dolů, proto je třeba ji brzdit.

    Brzdit ji musíme tak velkou silou, aby byla výslednice sil nulová. Tedy:

    \[F_b = F_{Gx} - F_t = (100 - 86{,}6)\,\mathrm N = 13{,}4\,\mathrm N.\]

  • Řešení b)

    Označme sílu, kterou je bedna posunována, jako \(\vec{F_1}\). Touto silou tlačíme bednu rovnoběžně s deskou. Abychom dokázali určit rychlost \(\vec v\), potenciální energii \(E_p\) a kinetickou energii \(E_k\) na horním konci prkna, potřebujeme určit výslednou sílu, která na bednu působí. Zakresleme si všechny síly působící na bednu do obrázku.

    Obr. 4: Vyznačení výslednice a hladin potenciální energie

    Podle duhého Newtonova zákona platí:

    \[\vec{F_{G}} + \vec {F_{1}} + \vec {F_{t}}+\vec{N}=m\vec{a}\]

    Zvolme souřadný systém podle obrázku a rozepišmě silové rovnice skalárně po složkách

    \[x: F_1-F_{G_{x}}-F_t=ma\]

    \[y: N-F_{G_{y}}=0\]

    Složky tíhové síly umíme vyjádřit pomocí úhlu sklonu \(\alpha\) nakloněné roviny (viz poznámka) a třecí sílu počítáme opět podle vztahu (2). Po úpravě dostaneme:

    \[x: F_1 -mg\sin{\alpha}-Nf=ma\]

    \[y: N=mg\cos{\alpha}\]

    Nyní můžeme dosadit z druhé rovnice do první za \(N\) a vyjádřit zrychlení.

    \[a=\frac{F_1 -mg\sin {\alpha}-fmg\cos {\alpha}}{m}\tag{6}\]

    \[a = \frac{200 - 20 {\cdot} 10 \cdot \sin {30^{\circ}}-0{,}5{\cdot} 20 \cdot 10 \cdot \cos {30^{\circ}}}{20} = \frac{200 - 200 {\cdot} 0{,}5-0{,}5{\cdot} 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{20} \,\dot=\, 0{,}7\,\mathrm{m \cdot s^{-2}} \]

    Chceme určit rychlost na druhém konci prkna. To znamená, že bedna urazí dráhu \(s\). Bedna na této dráze rovnoměrně zrychluje. Rychlost a dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu umíme zapsat:

    \[s = \frac{1}{2}at^2,\tag{7}\]

    \[ v = a t,\tag{8}\]

    kde \(t\) je čas, za který bedna dráhu urazí.

    Budeme-li uvažovat velikosti zmíněných veličin, můžeme ze soustavy rovnic (6), (7), (8) vyjádřit a spočítat hledanou rychlost \(v\).

    Z rovnice (8) vyjádříme čas \(t\) a dosadíme do rovnice (7). Vyjádříme hledanou rychlost \(v\), přičemž zrychlení \(a\) máme již určené z rovnice (6).

    Nejprve obecně:

    \[t =\frac{v}{a} \]

    \[s = \frac{a}{2} \frac{v^2}{a^2}=\frac{v^2}{2a}\]

    \[v =\sqrt{2sa}\]

    Nyní dosadíme \(a = 0{,}7\,\mathrm {m \cdot s^{-2}}\), \(s = 2{,}4\,\mathrm m\), \(m = 20\,\mathrm {kg}\).

    \[v = \sqrt{2{\cdot} 2{,}4 {\cdot} 0{,}7} \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot=\,1{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\]

    Pro kinetickou energii \(E_k\) obecně platí:

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2\]

    Rychlost v místě, kde chceme kinetickou energii určit, jsme již spočetli. Stačí pouze dosadit. Dostaneme:

    \[E_k \,\dot=\, \frac{1}{2}\cdot 20 \cdot {1{,}8}^2 \,\mathrm{J}= 10{\cdot} 3{,}24 \,\mathrm{J}= 32{,}4\,\mathrm{J}\]

    Zbývá určit potenciální energii. Podle obrázku (viz obr. 4) je zřejmé, že těleso zvedneme do výšky stolu \(h\). Potenciální energii určíme podle vztahu:

    \[E_p = mgh\]

    \[E_p = 20{\cdot} 10\cdot 1{,}2\,\mathrm{J} = 240\,\mathrm{J}\]

  • Řešení c)

    Třecí síla působí ve směru pohybu, práci můžeme počítat podle vztahu:

    \[W = F_t s\]

    Velikost třecí síly jsme určili v řešení části a)

    Dostaneme:

    \[W=sfmg\cos{\alpha}\]

    \[W=86{,}6{\cdot} 2{,}4 \,\mathrm J \,\dot=\, 207{,}8\,\mathrm J\]

  • Odpověď a)

    Bednu je třeba přidržovat zpět silou o velikosti 13,4 N.

  • Odpověď b)

    Náklad bude mít na horním konci prkna rychlost \(v\,\dot=\,1{,}8\,\mathrm {m\cdot s^{-1}}\), kinetickou energii \(E_k\,\dot=\,32{,}4\,\mathrm{J}\) a potenciální energii \(E_p = 240\,\mathrm{J}\).

  • Odpověď c)

    Práce, kterou vykoná třecí síla, je \(W\,\dot=\,207{,}8\,\mathrm J\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Zaslat komentář k úloze