Chlapec na kladce

Úloha číslo: 142

Na pevné kladce je zavěšeno lano, na jehož jednom konci je ocelová sedačka o hmotnosti 32 kg a na druhém konci siloměr. Chlapec o hmotnosti 64 kg sedící na zavěšené sedačce táhne za siloměr tak, že ukazuje 600 N.

a) Vypočtěte velikost zrychlení, s jakým se chlapec a sedačka pohybují a určete, zda je za daných podmínek zrychlení obou těles namířeno vzhůru či dolů.

b) Určete velikost síly, kterou působí chlapec na sedačku.

Hmotnost kladky a lana neuvažujte.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m2 = 32 kg hmotnost sedačky
    m1 = 64 kg hmotnost chlapce
    600 N údaj na siloměru
    a = ? m·s−2 zrychlení, s jakým se chlapec a sedačka pohybují
    N2 = ? N velikost síly, kterou působí chlapec na sedačku
  • Nápověda 1 – pohybové rovnice (výpočet zrychlení)

    Uvědomte si, jaké síly působí na chlapce a na sedačku. Nakreslete si obrázek a síly v něm vyznačte. Napište pohybové rovnice pro chlapce a sedačku.

    Doporučení: Pro přehlednost si nakreslete síly působící na chlapce a sedačku zvlášt do dvou obrázků.

  • Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, vztahy mezi tahovými silami a tlakovými silami

    Zvolte si vhodně soustavu souřadnic a přepište pohybové rovnice skalárně. Uvědomte si, jaký je vztah mezi tlakovou silou, kterou působí sedačka na chlapce, a tlakovou silou, kterou působí chlapec na sedačku. Podobně se zamyslete nad tahovými silami.

  • Nápověda 3 – výpočet zrychlení

    Sečtěte rovnice (5) a (6) a vyjádřete zrychlení.

  • Nápověda 4 – velikost tlakové síly

    Velikost tlakové síly, kterou působí chlapec na sedačku, můžete vyjádřit z rovnice (6) a dosadit za zrychlení.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Nejprve nakreslíme do obrázku všechny síly působící na chlapce a na sedačku a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

    Síly působící na chlapce (vlevo) a na sedačku (vpravo)

    Na chlapce působí následující síly:

    \(\vec{N}_1\)…tlaková síla, kterou sedačka působí na chlapce,

    \(\vec{T}_1\)…tahová síla, kterou lano působí na chlapce,

    \(\vec{F}_{G_1}\)…tíhová síla, kterou Země působí na chlapce.

    Na sedačku působí následující síly:

    \(\vec{N}_2\)…tlaková síla, kterou chlapec působí na sedačku,

    \(\vec{T}_2\)…tahová síla, kterou lano působí na sedačku,

    \(\vec{F}_{G_2}\)…tíhová síla, kterou Země působí na sedačku.

    Pohybová rovnice pro chlapce:

    \[\vec{T}_1+\vec{N}_1+\vec{F}_{G_1}\,=\, m_1\vec{a}.\tag{1}\]

    Pohybová rovnice pro sedačku:

    \[\vec{T}_2+\vec{N}_2+\vec{F}_{G_2}\,=\, m_2\vec{a}.\tag{2}\]

    Abychom mohli pohybové rovnice přepsat skalárně, zvolíme si vhodně soustavu souřadnic. Osu y volíme ve směru pohybu chlapce i sedačky a orientujeme ji směrem vzhůru.

    Síly působící na chlapce (vlevo) a na sedačku (vpravo

    Pohybová rovnice skalárně pro chlapce:

    \[T_1+N_1-F_{G_1}\,=\, m_1a.\tag{3}\]

    Pohybová rovnice skalárně pro sedačku:

    \[T_2-N_2-F_{G_2}\,=\, m_2a.\tag{4}\]

    Jelikož hmotnost kladky zanedbáváme, nemá tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňuje tah lana. Pro velikosti tahových sil lana podle 3. Newtonova zákona platí:

    \[|\vec{T}_1|\,=\,|\vec{T}_2|.\]

    Tlaková síla, kterou působí chlapec na sedačku, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou působí sedačka na chlapce:

    \[|\vec{N}_1|\,=\,|\vec{N}_2|.\]

    Přepíšeme rovnice (3) a (4):

    \[T_2+N_2-F_{G_1}\,=\, m_1a,\tag{5}\] \[T_2-N_2-F_{G_2}\,=\, m_2a.\tag{6}\]

    Výpočet velikosti zrychlení a:

    Rovnice (5) a (6) sečteme:

    \[2T_2-F_{G_2}-F_{G_1}\,=\,(m_2+m_1)a.\]

    Vyjádříme zrychlení:

    \[a\,=\,\frac{2T_2-F_{G_2}-F_{G_1}}{m_2+m_1},\] \[a\,=\,\frac{2T_2-m_2g-m_1g}{m_2+m_1},\] \[a\,=\,\frac{2T_2}{m_2+m_1}-\frac{m_2g+m_1g}{m_2+m_1}\,=\, \frac{2T_2}{m_2+m_1}-g.\tag{7}\]

    Do vztahu (7) dosadíme číselně:

    \[a\,=\,\left(\frac{2\,\cdot\,600}{32\,+\,64}\,-\,9{,}81\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}} \,=\,\left(\frac{1\,200}{96}\,-\,9{,}81\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}},\] \[a \,=\,(12{,}5\,-\,9{,}81)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\,2{,}69\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]

    Poznámka: Velikost zrychlení vyšla kladně. Chlapec se sedačkou se tedy pohybují vzhůru ve směru osy y. V případě, že bychom zvolili směr osy y dolů, vyšlo by zrychlení záporné. Z této skutečnosti bychom mohli usoudit, že směr zrychlení je opačný.

    Výpočet velikosti tlakové síly N2:

    Z rovnice (6) vyjádříme N2:

    \[N_2\,=\,T_2-F_{G_2}-m_2a,\] \[N_2\,=\,T_2-m_2g-m_2a.\]

    Dosadíme za zrychlení ze vztahu (7):

    \[N_2\,=\,T_2-m_2g-m_2\left(\frac{2T_2}{m_2+m_1}\,-\,g\right),\] \[N_2\,=\,T_2-\frac{2T_2m_2}{m_2+m_1},\] \[N_2\,=\,\frac{T_2m_1+T_2m_2-2T_2m_2}{m_2+m_1},\] \[N_2\,=\,T_2\left(\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}\right).\tag{8}\]

    Do vztahu (8) dosadíme číselně:

    \[N_2\,=\,600\,\left(\frac{64\,-\,32}{32\,+\,64}\right)\,\mathrm{N}\,=\,\frac{600 {\cdot} 32}{96}\,\mathrm{N}\,=\,\frac{600}{3}\,\mathrm{N}\,=\,200\,\mathrm{N}.\]
  • Celková odpověď

    Zrychlení, s jakým se chlapec a sedačka pohybují, je \[a \,=\, \frac{2T_2}{m_2+m_1}\,-\,g \,=\, 2{,}69\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]

    Zrychlení je za daných podmínek orientováno vzhůru.

    Velikost síly, kterou působí chlapec na sedačku, je \[N_2 \,=\, T_2\,\left(\frac{m_1-m_2}{m_2+m_1}\right)\,=\,200\,\mathrm{N}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze