Dvojice závaží na kladce

Úloha číslo: 529

Přes kladku je vedeno vlákno, na jehož koncích visí závaží o hmotnostech m1 a m2 (m2 > m1). Předpokládejme, že vlákno je nehmotné a kladka homogenní válec o poloměru r a hmotnosti m3. Určete zrychlení závaží.

  • Zápis

    m1 hmotnost prvního závaží
    m2 hmotnost druhého závaží
    m3 hmotnost kladky
    r poloměr kladky
    a = ? zrychlení závaží
  • Moment setrvačnosti válce

    Podle tabulek je moment setrvačnosti válce při otáčení podle osy symetrie \(J=\frac{1}{2}mr^2\).

  • Rozbor

    Úlohu je možné řešit dvěma způsoby. Buď pomocí zákona zachování mechanické energie (A), nebo přes impulsové věty (B). V prvním případě je třeba zvolit dvě vhodné situace, ve kterých budete mechanickou energii kladky a obou závaží srovnávat.

    Při řešení přes impulsové věty je třeba uvážit, které všechny síly působí na jednotlivá závaží a kladku a co platí pro jejich výslednici. Pro otáčející se kladku je třeba napsat i druhou větu impulsovou.

    (Impulsové věty viz úloha Kutálející se obruč.)

  • Nápověda 1 A

    Vyberte dvě situace, ve kterých budete mechanickou energii obou závaží a kladky srovnávat. Nezapomeňte zvolit hladinu nulové potenciální energie.

  • Nápověda 2A

    Vyjádřete si jednotlivé energie, potenciální a kinetickou, obou závaží a kladky v situaci 1 a 2. Dosaďte do vztahu (1).
  • Zapeklitá otázka 3A

    Ve vztazích pro kinetickou energii figuruje rychlost. Vyjádřete ji pomocí zrychlení a uražené dráhy h.

  • Nápověda 1B

    Nakreslete do obrázku všechny síly, které působí na obě závaží a kladku.

  • Nápověda 2B

    Napište, co platí pro výslednice sil působící na jednotlivá závaží i kladku. Pro kladku napište i druhou větu impulsovou.

  • Nápověda 3B

    Z rovnic (3), (4), (5) vyjádřete hledané zrychlení.

  • Celkové řešení pomocí zákona zachování mechanické energie

    Vybereme dvě situace, ve kterých budeme mechanickou energii obou závaží a kladky srovnávat. Zvolíme hladinu nulové potenciální energie.

    posun zavazi

    V první situaci nastavíme závaží, aby těžiště byla ve stejné výšce, kterou použijeme jako nulovou hladinu potenciální energie.

    Porovnáme mechanické energie Ep1, Ek1 obou závaží a kladky na počátku (sit.1) a po uražení dráhy h: Ep2, Ek2 (sit.2).

    Podle zákona zachování mechanické energie platí:

    \[E_{p1}+E_{k1} = E_{p2}+E_{k2}\,.\tag{1}\]

    Jelikož se soustava na počátku nehýbe, je

    \[E_{k1}=0.\]

    Potenciální energie obou závaží je rovněž nulová. Jediná část soustavy, která z nulové hladiny vyčnívá, je kladka. Její potenciální energii označíme Epkladky.

    \[E_{p1}=E_{pkladky}\]

    Potenciální energie těžšího závaží ubývá, v situaci 2 je rovna -m2gh, naopak u lehčího závaží přibývá a v situaci 2 je rovna m1gh. Potenciální energie kladky se nemění. Celková potenciální energie soustavy v situaci 2 je rovna:

    \[E_{p2}=(m_1-m_2)gh+E_{pkladky}\,.\]

    Kinetická energie závaží je rovna součtu kinetických energií obou závaží \(E_{kz}=\frac{1}{2}m_1v^2+\frac{1}{2}m_2v^2=\frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2\) a kinetické energie otáčení kladky \(E_{ot}=\frac{1}{2}J\omega^2\).

    Obvodová rychlost kladky je rovna rychlosti pohybu závaží, proto \(\omega=\frac{v}{r}\).

    Moment setrvačnosti kladky \(J=\frac{1}{2}m_3r^2\).

    Dosadíme:

    \[E_{ot}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}m_3r^2)(\frac{v}{r})^2=\frac{1}{4}m_3v^2.\]

    Celková kinetická energie soustavy v situaci 2 je rovna:

    \[E_{k2} = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2 + \frac{1}{4}m_3v^2\,.\]

    Dosazením do vztahu (1) dostaneme:

    \[E_{pkladky} = (m_1-m_2)gh+E_{pkladky} + \frac{1}{2}(m_1+m_2)v^2 + \frac{1}{4}m_3v^2\,.\]

    Upravíme:

    \[(m_2-m_1)gh = \frac{1}{2}(m_1+m_2 + \frac{1}{2}m_3)v^2\,.\tag{2}\]

    Ve vztazích pro kinetickou energii figuruje rychlost. Vyjádříme ji pomocí zrychlení a uražené dráhy h.

    Závaží se pohybují rovnoměrně zrychleným pohybem. Pro uraženou dráhu h platí:

    \[h=\frac{1}{2}at^2\,.\]

    Pro rychlost platí:

    \[v=at\,.\]

    Pak:

    \[h=\frac{v^2}{2a}\,.\]

    Odtud:

    \[v^2 = 2ah\,.\]

    Dosadíme do (2):

    \[(m_2-m_1)gh = \frac{1}{2}(m_1+m_2 + \frac{1}{2}m_3)2ah\,.\]

    Zkrátíme h:

    \[(m_2-m_1)g = (m_1+m_2 + \frac{1}{2}m_3)a\,.\]

    Vyjádříme a:

    \[a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\frac{1}{2}m_3}\,.\]
  • Celkové řešení pomocí impulsových vět

    Do obrázku nakreslíme všechny síly, které působí na obě závaží a kladku.

    síly na závaží

    Na závaží působí tíhové síly \(\vec{F}_{G1}\), \(\vec{F}_{G2}\) a tahy vlákna \(\vec{T_1}\), \(\vec{T_2}\) které podle 3. Newtonova zákona působí stejně velkou, opačně orientovanou silou \(\vec{T_1^,}\) a \(\vec{T_2^,}\) na kladku.

    Dále na kladku působí tíhová síla, \(\vec{F}_k\), a síla \(\vec{F}_z\), kterou působí závěs kladky tak, aby kladka nespadla.

    Pro výslednice sil platí:

    Závaží 1:

    \[\vec{F}_{G1} + \vec{T}_1= m_1\vec{a}\,.\]

    Skalárně (soustava souřadná je zavedena tak, aby směr nahoru byl kladný):

    \[T_1 - F_{G1} = m_1a. \tag{3}\]

    Závaží 2:

    \[\vec{F}_{G2} + \vec{T}_2= m_2\vec{a}\,.\]

    Skalárně:

    \[T_2 - F_{G2} = -m_2a\,,\] \[- T_2 + F_{G2} = m_2a\,.\tag{4}\]

    Kladka:

    \[\vec{F}_{k} + \vec{F}_{z} + \vec{T^,}_{1}+ \vec{T^,}_{2} = 0\,.\]

    Skalárně:

    \[-F_{k} + F_{z} - T_{1}^, - T_{2}^, = 0\,.\]

    Pro výslednici momentů sil působících na kladku vzhledem ke středu platí:

    \[\vec{r} \times \vec{T^,}_{1}+ \vec{r} \times \vec{T^,}_{2} = J\vec{\epsilon}\,.\]

    Skalárně:

    (Směr otáčení hodinových ručiček bereme jako záporný.)

    \[r T_{2}^, - r T_{1}^, = J\epsilon.\]

    Dosadíme za \(J=\frac{1}{2}m_3r^2\), \(\epsilon = \frac{a}{r}\), \(T_{1}^,=T_{1}\), \(T_{2}^,=T_{2}\):

    \[r T_{2} - r T_{1} = (\frac{1}{2}m_3r^2)\frac{a}{r},\] \[T_{2} - T_{1} = \frac{1}{2}m_3a.\tag{5}\]

    Z rovnic (3), (4), (5) vyjádříme hledané zrychlení.

    \[T_1 - F_{G1} = m_1a \tag{3}\] \[- T_2 + F_{G2} = m_2a \tag{4}\] \[T_{2} - T_{1} = \frac{1}{2}m_3a\tag{5}\]

    Součtem rovnic (3),(4) a (5) dostáváme:

    \[F_{G2}-F_{G1}=m_1a+m_2a+\frac{1}{2}m_3a\,,\] \[a=\frac{F_{G2}-F_{G1}}{m_1+m_2+\frac{1}{2}m_3}\,,\] \[a=\frac{g(m_2-m_1)}{m_1+m_2+\frac{1}{2}m_3}\,.\]
  • Odpověď

    Velikost zrychlení závaží je \[a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\frac{1}{2}m_3}.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze