Kubický krystal

Úloha číslo: 2145

Kubický krystal je namáhán ve směru [100]. Vyjádřete Poissonovu konstantu tohoto krystalu pomocí elastických konstant.

Kubický krystal v tahu
  • Zápis

    sij ;i,j = (1;2;4) elastické konstanty
    m = ? Poissonova konstanta
  • Teorie a značení

    V Hookově zákoně pro anizotropní látku používáme soustavu rovnic:

    \[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{13}\sigma_{zz}+s_{14}\tau_{yz}+s_{15}\tau_{zx}+s_{16}\tau_{xy},\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{21}\sigma_{xx}+s_{22}\sigma_{yy}+s_{23}\sigma_{zz}+s_{24}\tau_{yz}+s_{25}\tau_{zx}+s_{26}\tau_{xy},\] \[\varepsilon_{zz}\,=\,s_{31}\sigma_{xx}+s_{32}\sigma_{yy}+s_{33}\sigma_{zz}+s_{34}\tau_{yz}+s_{35}\tau_{zx}+s_{36}\tau_{xy},\] \[\gamma_{yz}\,=\,s_{41}\sigma_{xx}+s_{42}\sigma_{yy}+s_{43}\sigma_{zz}+s_{44}\tau_{yz}+s_{45}\tau_{zx}+s_{46}\tau_{xy},\] \[\gamma_{zx}\,=\,s_{51}\sigma_{xx}+s_{52}\sigma_{yy}+s_{53}\sigma_{zz}+s_{54}\tau_{yz}+s_{55}\tau_{zx}+s_{56}\tau_{xy},\] \[\gamma_{xy}\,=\,s_{61}\sigma_{xx}+s_{62}\sigma_{yy}+s_{63}\sigma_{zz}+s_{64}\tau_{yz}+s_{65}\tau_{zx}+s_{66}\tau_{xy},\]

    kde

    \[\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}\]

    jsou tahová napětí,

    \[\tau_{yz}, \tau_{zx}, \tau_{xy}\]

    jsou smyková napětí,

    \[\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}\]

    jsou normálové deformace,

    \[\gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}\]

    jsou smykové deformace, a

    \[s_{ij}\]

    jsou elastické konstanty.

    Tenzorem napětí zde rozumíme:

    \[\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\ \end{bmatrix}.\]

    Tenzor je symetrický, to znamená že platí

    \[\tau_{yx} = \tau_{xy}\] \[\tau_{zx} = \tau_{xz}\] \[\tau_{zy} = \tau_{yz}.\]

    Stačí nám tedy uvažovat pouze členy

    \[\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \sigma_{zz}, \tau_{yz}, \tau_{zx}, \tau_{xy}.\]

    Tenzorem deformace je:

    \[\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \gamma_{xy} & \gamma_{xz} \\ \gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} & \gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix}.\]

    I tento tenzor je symetrický, takže

    \[\gamma_{yx} = \gamma_{xy}\] \[\gamma_{zx} = \gamma_{xz}\] \[\gamma_{zy} = \gamma_{yz}.\]

    Máme tedy celkově šest členů pro deformaci

    \[\varepsilon_{xx}, \varepsilon_{yy}, \varepsilon_{zz}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}.\]

    Soustavu rovnic můžeme uvažovat i inverzně, tedy složky tenzoru napětí lze napsat lineárními vztahy:

    \[\sigma_{xx}\,=\,C_{11}\varepsilon_{xx}+C_{12}\varepsilon_{yy}+C_{13}\varepsilon_{zz}+C_{14}\gamma_{yz}+C_{15}\gamma_{zx}+C_{16}\gamma_{xy},\] \[\sigma_{yy}\,=\,C_{21}\varepsilon_{xx}+C_{22}\varepsilon_{yy}+C_{23}\varepsilon_{zz}+C_{24}\gamma_{yz}+C_{25}\gamma_{zx}+C_{26}\gamma_{xy},\] \[\sigma_{zz}\,=\,C_{31}\varepsilon_{xx}+C_{32}\varepsilon_{yy}+C_{33}\varepsilon_{zz}+C_{34}\gamma_{yz}+C_{35}\gamma_{zx}+C_{36}\gamma_{xy},\] \[\tau_{yz}\,=\,C_{41}\varepsilon_{xx}+C_{42}\varepsilon_{yy}+C_{43}\varepsilon_{zz}+C_{44}\gamma_{yz}+C_{45}\gamma_{zx}+C_{46}\gamma_{xy},\] \[\tau_{zx}\,=\,C_{51}\varepsilon_{xx}+C_{52}\varepsilon_{yy}+C_{53}\varepsilon_{zz}+C_{54}\gamma_{yz}+C_{55}\gamma_{zx}+C_{56}\gamma_{xy},\] \[\tau_{xy}\,=\,C_{61}\varepsilon_{xx}+C_{62}\varepsilon_{yy}+C_{63}\varepsilon_{zz}+C_{64}\gamma_{yz}+C_{65}\gamma_{zx}+C_{66}\gamma_{xy},\]

    kde

    \[C_{ij}\]

    jsou elastické moduly (moduly pružnosti).

  • Rozbor

    Poissonova konstanta vyjadřuje poměr relativního prodloužení k relativnímu příčnému zkrácení při namáhání tahem. V našem případě je nenulové pouze napětí v prvním směru. Není tedy důvod uvažovat smyková napětí a úhlové deformace. Vlastnosti ve druhém a třetím směru budou při tomto namáhání stejné. Mezi deformacemi v prvním a druhém směru musí být záporná směrnice. Poissonova konstanta je absolutní hodnotou této směrnice, při které se uvažuje deformace v druhém směru jako funkce závislá na deformaci v prvním směru. V opačném případě by se jednalo o Poissonovo číslo.

  • Nápověda

    Pro kubický krystal stačí vzít jen elastické konstanty s11, s12, s44, což plyne ze symetrie krystalu. Matice, která obsahuje všechny elastické konstanty, je pro kubický krystal čtvercová šestého řádu a symetrická. Vyjádřete pomocí ní přechod od napětí k deformacím. Ve vzniklých šesti rovnicích není důvod uvažovat tři rovnice pro úhlové deformace. Nenulové napětí je pouze tahové napětí v prvním směru. Zde je deformace v druhém směru stejná jako v prvním směru, stačí tedy vzít jen jednu z příslušných rovnic. Poissonova konstanta je dána poměrem deformace v prvním a druhém směru. Nezapomeňte na to, že když krystal v jednom směru prodloužíme, tak ve druhém se zúží. Ovšem Poissonova konstanta musí být kladná.

  • Řešení

    Ze symetrie krystalu plyne, že zde stačí uvažovat pouze tři elastické konstanty:

    \[s_{11}, s_{12}, s_{44}.\]

    Poznámka: jako matici přechodu od složek tenzoru napětí do složek tenzoru deformace můžeme pro kubický krystal uvažovat:

    \[\begin{pmatrix} s_{11} & s_{12} & s_{12} & 0 & 0 & 0 \\ s_{12} & s_{11} & s_{12} & 0 & 0 & 0 \\ s_{12} & s_{12} & s_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & s_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & s_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & s_{44} \end{pmatrix}.\]

    Hookův zákon pro kubický krystal má tedy tvar:

    \[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{12}\sigma_{zz},\tag{1}\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}+s_{11}\sigma_{yy}+s_{12}\sigma_{zz},\tag{2}\] \[\varepsilon_{zz}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}+s_{12}\sigma_{yy}+s_{11}\sigma_{zz},\tag{3}\] \[\gamma_{yz}\,=\,s_{44}\tau_{yz},\tag{4}\] \[\gamma_{zx}\,=\,s_{44}\tau_{zx},\tag{5}\] \[\gamma_{xy}\,=\,s_{44}\tau_{xy}.\tag{6}\]

    Protože je krystal namáhán pouze ve směru [100], tak jediná nenulová složka napětí je tahová ve směru x. Rovnice (4), (5) a (6) tedy nebudou dále potřeba. Také rovnice (3) nebude potřeba, protože v našem případě je deformace ve směru [010] stejná jako ve směru [001]. Rovnice (1) a (2) můžeme přepsat na:

    \[\varepsilon_{xx}\,=\,s_{11}\sigma_{xx},\tag{7}\] \[\varepsilon_{yy}\,=\,s_{12}\sigma_{xx}.\tag{8}\]

    Pro Poissonovu konstantu platí vztah:

    \[m\,=\,-\frac{\varepsilon_{xx}}{\varepsilon_{yy}}.\tag{9}\]

    Dosazením (7) a (8) do (9) již dostáváme:

    \[m\,=\,-\frac{s_{11}}{s_{12}}.\]
  • Odpověď

    Poissonova konstanta kubického krystalu vyjádřená pomocí elastických konstant je:

    \[m\,=\,-\frac{s_{11}}{s_{12}}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze