Srážka aut

Úloha číslo: 745

Dvě auta jedou přímo proti sobě. První rychlostí o velikosti 20 m·s-1, druhé rychlostí o velikosti 30 m·s-1. Obě auta jsou schopna zastavit z rychlosti o velikosti 25 m·s-1 za 5 s.

a) Jak daleko musí být od sebe auta, aby se nesrazila?

b) Jak daleko by auta musela být, kdybychom započetli reakční dobu řidičů, která je rovna asi 0,2 s?

  • Zápis

    v1 = 20 m·s−1 rychlost jízdy prvního auta
    v2 = 30 m·s−1 rychlost jízdy druhého auta
    v0 = 25 m·s−1 počáteční rychlost aut
    t0 = 5 s čas, za který auta zastaví z rychlosti v0
    tr = 0,2 s reakční doba řidičů
    a) s = ? (m) vzdálenost aut
    b) sr = ? (m) vzdálenost aut při započtení reakční doby
  • Nápověda 1 pro a): Grafické řešení – graf závislosti rychlosti na čase

    Zkuste úlohu vyřešit nejprve graficky.

    Nakreslete si grafy závislostí rychlostí obou aut na čase při jejich zastavování.

    Předpokládejte, že pokles rychlosti obou aut je rovnoměrný.

  • Nápověda 2 pro a): Grafické řešení – dráha zastavení

    Kde je v grafech z předchozí nápovědy schovaná dráha zastavení obou aut?

  • Nápověda 3 pro a): Početní řešení-dráhy zastavení

    Nyní budeme řešit úlohu početně s využitím vztahů pro rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb.

    Znáte velikosti rychlostí obou aut a za předpokladu, že pokles rychlosti obou aut je rovnoměrný, znáte i jejich zrychlení.

    Jak vypočtete dráhy zastavení obou aut?

  • Nápověda 4 pro b): Reakční doba řidičů

    Je třeba započítat reakční dobu řidičů.

    K dráze vypočítané v bodě a) musíme tedy připočítat dráhu, kterou oba řidiči ujedou než stačí zareagovat.

    Jak ji zjistíme?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    a) Grafické řešení:

    Předpokládáme, že pokles rychlosti je rovnoměrný.

    Velikosti rychlostí obou aut se tedy sníží za 1 s o 5 m·s-1.

    První auto tak zastaví za 4 s, druhé auto zastaví za 6 s.

     

    Obrázek 1 – Graf závislosti rychlosti prvního auta na čase:

     

    Graf závislosti rychlosti prvního auta na čase

     

    Dráha zastavení prvního auta odpovídá ploše pod křivkou prvního grafu.

    Pro dráhu s1 zastavení prvního auta platí:

    \[s_1=\frac{20{\cdot}4}{2}\,\mathrm{m}=40\,\mathrm{m}.\]

    Obrázek 2 – Graf závislosti rychlosti druhého auta na čase:

     

    Graf závislosti rychlosti druhého auta na čase

     

    Dráha zastavení druhého auta odpovídá ploše pod křivkou druhého grafu.

    Pro dráhu s2 zastavení druhého auta platí:

    \[s_2=\frac{30{\cdot}6}{2}\,\mathrm{m}=90\,\mathrm{m}.\]

    Aby se auta nesrazila, musela by být od sebe vzdálena:

    \[s=s_1+s_2 =130\,\mathrm{m}.\]

    a) Početní řešení:

    Velikosti rychlostí aut:

    \[v_1= 20\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\] \[v_2= 30\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]

    Zrychlení aut:

    Obě auta jsou schopna zastavit z rychlosti 25 m·s-1 za 5 s. Za 1 s se rychlost sníží při rovnoměrném brzdění o 5 m·s-1. Velikost zrychlení aut je tedy:

    \[a= \frac{v_0}{t_0} = 5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]

    Výpočet dráhy zastavení:

     

    Rychlost a dráha rovnoměrně zpomaleného přímočarého pohybu se s časem mění podle níže uvedených vztahů, známých ze střední školy:

    \[v \,=\, v_p-at,\tag{1}\] \[s \,=\, v_pt-{\frac{1}{2}}at^2,\tag{2}\]

    kde vp je počáteční rychlost, ze které se začíná brzdit.

    V okamžiku zastavení bude rychlost auta nulová. Ze vztahu (1) pro rychlost zjistíme čas zastavení tz. Platí:

    \(0=v_p - at_z.\)

    Odtud:

    \(t_z\,=\,\frac{v_p}{a}.\)

    Dráhu zastavení sz dostaneme dosazením za čas zastavení do vztahu (2):

    \[s_z\,=\, v_pt_z- {\frac{1}{2}}at_z^2 \,=\,v_p\left(\frac{v_p}{a}\right)-{\frac{1}{2}}a\left(\frac{v_p}{a}\right)^2,\] \[s_z=\frac{v_p^{2}}{2a}.\]

    Dráha zastavení prvního auta:

    \[s_1=\frac{v_1^{2}}{2a},\] \[s_1=\frac{20^{2}}{2{\cdot}5}\,\mathrm{m}=40\,\mathrm{m}.\]

    Dráha zastavení druhého auta:

    \[s_2=\frac{v_2^{2}}{2a},\] \[s_2=\frac{30^{2}}{2{\cdot}5}\,\mathrm{m}=90\,\mathrm{m}.\]

    Aby se auta nesrazila, musela by být od sebe vzdálena:

    \[s=s_1+s_2 = \frac{v_1^{2}+v_2^{2} }{2a} = 130\,\mathrm{m}.\]

    b) Početní řešení se započtením reakční doby řidičů:

    Vzdálenost aut (tak, aby se nesrazila) vypočítaná v bodě a):

    \[s_1+s_2 =(40+90)\,\mathrm{m}=130\,\mathrm{m}.\]

    K tomu je třeba ještě připočítat dráhu, kterou oba řidiči ujedou, než stačí zareagovat a začnou brzdit.

    Reakční dobu si označíme tr:

    \[t_r=0{,}2\,\mathrm{s}.\]

    Dráha, kterou ujede první auto, než řidič zareaguje, je:

    \[s_{r1}=v_1\cdot t_r=(20{\cdot}0{,}2)\,\mathrm{m}=4\,\mathrm{m}.\]

    Dráha, kterou ujede druhé auto, než řidič zareaguje, je:

    \[s_{r2}=v_2\cdot t_r=(30{\cdot}0{,}2)\,\mathrm{m}=6\,\mathrm{m}.\]

    Celková vzdálenost aut by pak musela být:

    \[s_r=(s_1+s_2+s_{r1}+s_{r2})=(40+90+6+4)\,\mathrm{m}=140\,\mathrm{m}.\]
  • Odpověď

    a) Aby se auta nesrazila, musela by být od sebe vzdálena:

    \[s=s_1+s_2 = \frac{v_1^{2}+v_2^{2}}{2a} = 130\,\mathrm{m},\] \[(a = \frac{v_0}{t_0} = 5\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}).\]

    b) Se započtením reakční doby řidičů by celková vzdálenost aut (aby nedošlo ke srážce) musela být:

    \[s_r =(s_1+s_2+s_{r1}+s_{r2})=(\frac{v_1^{2}+v_2^{2}}{2a} + v_1t_r + v_2t_r)\,\mathrm{m}=140\,\mathrm{m}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Zaslat komentář k úloze