Intenzita gravitačního pole mezi Zemí a Měsícem

Úloha číslo: 517

Ve kterém místě spojnice Země – Měsíc je výsledná intenzita gravitačního pole obou těles nulová? Vyjádřete pomocí hmotnosti Země, Měsíce a vzdálenosti a jejich středů.

Základní situace
  • Teorie – intenzita gravitačního pole

    Intenzita gravitačního pole \(\vec {K}\) je vektorová veličina definovaná vztahem:

    \[\vec {K} = \frac{\vec {F}_g}{m}\,.\]

    Kde Fg je gravitační síla působící v daném místě pole na testovací objekt hmotnosti m.

    Používá se k modelování prostorových vlastností pole. Jednoduchými úpravami totiž dojdeme k tomu, že nezávisí na hmotnosti testovacího objektu:

    \[\vec {K} = -\kappa \frac{M}{r^2} \frac{\vec {r}}{r}\,.\tag{1}\]

    M je hmotnost tělesa, které tvoří centrální gravitační pole, r je vzdálenost jeho středu (resp. polohový vektor) od zkoumaného místa a κ je gravitační konstatnta.

    A naopak právě jen její znalost a znalost hmotnosti zkoumaného tělesa stačí k určení gravitační síly na tělesou působící:

    \[\vec {F}_g = m\vec {K}\,.\]
  • Nápověda 1

    Hledáme místo na spojnici Země a Měsíce, kde bude výsledná intenzita gravitačního pole nulová. Nakreslete si do obrázku, kam bude směřovat vektor intenzity gravitačního pole Země a totéž pro Měsíc. Co bude platit pro jejich velikosti, pokud neuvažujeme působení ostatních vesmírných těles?

  • Nápověda 2

    Pomocí vztahu (1) vyjádřete intenzitu gravitačního pole Země a Měsíce v hledaném místě.

    Zvažte, jak vhodně zapsat vzdálenost r, aby z ní bylo možno vyjádřit polohu bodu x.

  • Nápověda 3 – hodnoty z tabulek

    K číselnému řešení úlohy, budete potřebovat údaje, které nejsou zadané. Vyhledejte je v tabulkách nebo na internetu.

  • Celkové řešení

    Vektory intenzity

    Výsledná intenzita v hledaném místě má být nulová. Platí tedy:

    \[\vec{K}_{celk.} = \vec{K}_{Zeme} + \vec{K}_{Mesic} = 0\,.\]

    Vektorovou rovnici přepíšeme skalárně (viz náčrtek):

    \[K_{celk.} = K_{Zeme} - K_{Mesic} = 0\,.\]

    V místě, kde příspěvky Země a Měsíce budou stejné, pak musí platit:

    \(K_{Zeme} = K_{Mesic}\,,\)

    \(\kappa \frac{M}{x^2} = \kappa \frac{m}{(a-x)^2}\,,\)       pro x z intervalu (RZ; aRM)

    \(\frac{M}{x^2} = \frac{m}{(a-x)^2}\,,\)

    \(\frac{x^2}{M} = \frac{(a-x)^2}{m}\,.\)

    Hmotnosti i vzdálenosti jsou kladné, odmocnění je tedy ekvivalentní úprava.

    \[\frac{x}{\sqrt{M}} = \frac{(a-x)}{\sqrt{m}}\]

    Odtud:

    \[x = a \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}\,.\]

    Číselně:

    \[x = 384 000 \cdot \frac{\sqrt{6 {\cdot} 10^{24}}}{\sqrt{6 {\cdot} 10^{24}}+\sqrt{7{,}3 {\cdot} 10^{22}}} km \approx 346 000\,\mathrm{km}.\]
  • Odpověď

    Intenzita gravitačního pole mezi Zemí a Měsícem je nulová v bodě x (měřeno od Země), pro který platí:

    \[x = a \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}\,.\]

    Číselně: x ≈ 346000 km.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha s vysvětlením teorie
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze