Intenzita gravitačního pole mezi Zemí a Měsícem
Úloha číslo: 517
Ve kterém místě spojnice Země – Měsíc je výsledná intenzita gravitačního pole obou těles nulová? Vyjádřete pomocí hmotnosti Země, Měsíce a vzdálenosti a jejich středů.

Teorie – intenzita gravitačního pole
Intenzita gravitačního pole \(\vec {K}\) je vektorová veličina definovaná vztahem:
\[\vec {K} = \frac{\vec {F}_g}{m}\,.\]Kde Fg je gravitační síla působící v daném místě pole na testovací objekt hmotnosti m.
Používá se k modelování prostorových vlastností pole. Jednoduchými úpravami totiž dojdeme k tomu, že nezávisí na hmotnosti testovacího objektu:
\[\vec {K} = -\kappa \frac{M}{r^2} \frac{\vec {r}}{r}\,.\tag{1}\]M je hmotnost tělesa, které tvoří centrální gravitační pole, r je vzdálenost jeho středu (resp. polohový vektor) od zkoumaného místa a κ je gravitační konstatnta.
A naopak právě jen její znalost a znalost hmotnosti zkoumaného tělesa stačí k určení gravitační síly na tělesou působící:
\[\vec {F}_g = m\vec {K}\,.\]Nápověda 1
Hledáme místo na spojnici Země a Měsíce, kde bude výsledná intenzita gravitačního pole nulová. Nakreslete si do obrázku, kam bude směřovat vektor intenzity gravitačního pole Země a totéž pro Měsíc. Co bude platit pro jejich velikosti, pokud neuvažujeme působení ostatních vesmírných těles?
Nápověda 2
Pomocí vztahu (1) vyjádřete intenzitu gravitačního pole Země a Měsíce v hledaném místě.
Zvažte, jak vhodně zapsat vzdálenost r, aby z ní bylo možno vyjádřit polohu bodu x.
Nápověda 3 – hodnoty z tabulek
K číselnému řešení úlohy, budete potřebovat údaje, které nejsou zadané. Vyhledejte je v tabulkách nebo na internetu.
Celkové řešení
Výsledná intenzita v hledaném místě má být nulová. Platí tedy:
\[\vec{K}_{celk.} = \vec{K}_{Zeme} + \vec{K}_{Mesic} = 0\,.\]Vektorovou rovnici přepíšeme skalárně (viz náčrtek):
\[K_{celk.} = K_{Zeme} - K_{Mesic} = 0\,.\]V místě, kde příspěvky Země a Měsíce budou stejné, pak musí platit:
\(K_{Zeme} = K_{Mesic}\,,\)
\(\kappa \frac{M}{x^2} = \kappa \frac{m}{(a-x)^2}\,,\) pro x z intervalu (RZ; a − RM)
\(\frac{M}{x^2} = \frac{m}{(a-x)^2}\,,\)
\(\frac{x^2}{M} = \frac{(a-x)^2}{m}\,.\)
Hmotnosti i vzdálenosti jsou kladné, odmocnění je tedy ekvivalentní úprava.
\[\frac{x}{\sqrt{M}} = \frac{(a-x)}{\sqrt{m}}\]Odtud:
\[x = a \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}\,.\]Číselně:
\[x = 384 000 \cdot \frac{\sqrt{6 {\cdot} 10^{24}}}{\sqrt{6 {\cdot} 10^{24}}+\sqrt{7{,}3 {\cdot} 10^{22}}} km \approx 346 000\,\mathrm{km}.\]Odpověď
Intenzita gravitačního pole mezi Zemí a Měsícem je nulová v bodě x (měřeno od Země), pro který platí:
\[x = a \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{M}+\sqrt{m}}\,.\]Číselně: x ≈ 346000 km.