Sbírka řešených úloh

Soustava Země - Měsíc

Úloha číslo: 1133

• Zápis

  m	hmotnost Měsíce
  M = 81m	hmotnost Země
  a = 384 000 km	vzdálenost středů Měsíce a Země
  xT = ?	vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země

• Nápověda 1

  Výše uvedenou situaci zakreslete do obrázku a vhodně do ní zaveďte souřadný systém. Které souřadnice hmotného středu soustavy musíte vypočítat a které se dají určit pouze z obrázku, bez výpočtu?

• Řešení nápovědy 1

  Zadanou soustavu ukazuje obrázek níže. Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

  

  Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice y_T, z_T hmotného středu platí:

  \[y_T\,=\,z_T\,=\,0.\]

  Výpočtem je tedy třeba určit zbývající souřadnici hmotného středu x_T.

• Nápověda 2

  V dané situaci můžeme Zemi a Měsíc považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6378 km). Pro výpočet neznámé x_T proto použijte vztah pro polohu hmotného středu soustavy hmotných bodů - jak tento vztah vypadá?

• Řešení nápovědy 2

  Vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

  \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici x_T v naší soustavě:

  \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^2{m_i}}.\tag{1}\]

• Nápověda 3

  Do vztahu (1) dosaďte konkrétní hodnoty a číselně dopočítejte. Vyjádřete vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země jako procentuální část zemského poloměru.

• Řešení nápovědy 3

  Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

  \[x_T\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

  Číselně:

  \[x_T\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

  Protože poloměr Země je 6378 km, představuje vzdálenost x_T přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země-Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

• Celkové řešení

  Na úvod nakreslíme obrázek situace (viz níže). Zemi a Měsíc můžeme považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6378 km). Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

  

  Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice y_T, z_T hmotného středu platí:

  \[y_T\,=\,z_T\,=\,0.\]

  Pro výpočet zbývající neznámé x_T použijeme obecný vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů:

  \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici x_T v naší soustavě:

  \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^2{m_i}}.\tag{1}\]

  Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

  \[x_T\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

  Číselně:

  \[x_T\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

  Protože poloměr Země je 6378 km, představuje vzdálenost x_T přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země-Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

• Odpověď

  Polohu hmotného středu soustavy Země-Měsíc můžeme v našem souřadném systému popsat těmito souřadnicemi:

  \[x_T\,\dot=\,4683\,\mathrm{km},\] \[y_T\,=\,0\,\mathrm{km},\] \[z_T\,=\,0\,\mathrm{km}.\]

  Hmotný střed soustavy se nachází ve vzdálenosti 0,734-násobku zemského poloměru od středu Země.