Soustava Země - Měsíc

Úloha číslo: 1133

Určete polohu hmotného středu soustavy Země - Měsíc, jestliže víte, že hmotnost Země je 81x větší než hmotnost Měsíce a vzdálenost středů je 384 000 km. Porovnejte vzdálenost hmotného středu této soustavy od středu Země s jejím poloměrem.

  • Zápis

    m hmotnost Měsíce
    M = 81m hmotnost Země
    a = 384 000 km vzdálenost středů Měsíce a Země
    xT = ? vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země
  • Nápověda 1

    Výše uvedenou situaci zakreslete do obrázku a vhodně do ní zaveďte souřadný systém. Které souřadnice hmotného středu soustavy musíte vypočítat a které se dají určit pouze z obrázku, bez výpočtu?

  • Nápověda 2

    V dané situaci můžeme Zemi a Měsíc považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6378 km). Pro výpočet neznámé xT proto použijte vztah pro polohu hmotného středu soustavy hmotných bodů - jak tento vztah vypadá?

  • Nápověda 3

    Do vztahu (1) dosaďte konkrétní hodnoty a číselně dopočítejte. Vyjádřete vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země jako procentuální část zemského poloměru.

  • Celkové řešení

    Na úvod nakreslíme obrázek situace (viz níže). Zemi a Měsíc můžeme považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6378 km). Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

    Soustava Země-Měsíc v souřadném systému

    Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice yT, zT hmotného středu platí:

    \[y_T\,=\,z_T\,=\,0.\]

    Pro výpočet zbývající neznámé xT použijeme obecný vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_i\vec{r}_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici xT v naší soustavě:

    \[x_T\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^2{m_i}}.\tag{1}\]

    Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

    \[x_T\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

    Číselně:

    \[x_T\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

    Protože poloměr Země je 6378 km, představuje vzdálenost xT přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země-Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

  • Odpověď

    Polohu hmotného středu soustavy Země-Měsíc můžeme v našem souřadném systému popsat těmito souřadnicemi:

    \[x_T\,\dot=\,4683\,\mathrm{km},\] \[y_T\,=\,0\,\mathrm{km},\] \[z_T\,=\,0\,\mathrm{km}.\]

    Hmotný střed soustavy se nachází ve vzdálenosti 0,734-násobku zemského poloměru od středu Země.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze