Soustava Země–Měsíc

Úloha číslo: 1133

Určete polohu hmotného středu soustavy Země–Měsíc, jestliže víte, že hmotnost Země je 81x větší než hmotnost Měsíce a vzdálenost středů je 384 000 km. Porovnejte vzdálenost hmotného středu této soustavy od středu Země s jejím poloměrem.

  • Zápis

    m hmotnost Měsíce
    M = 81m hmotnost Země
    a = 384 000 km vzdálenost středů Měsíce a Země
    xT = ? vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země
  • Nápověda 1

    Výše uvedenou situaci zakreslete do obrázku a vhodně do ní zaveďte souřadný systém. Které souřadnice hmotného středu soustavy musíte vypočítat a které se dají určit pouze z obrázku, bez výpočtu?

  • Nápověda 2

    V dané situaci můžeme Zemi a Měsíc považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6 378 km). Pro výpočet neznámé xT proto použijte vztah pro polohu hmotného středu soustavy hmotných bodů – jak tento vztah vypadá?

  • Nápověda 3

    Do vztahu (1) dosaďte konkrétní hodnoty a číselně dopočítejte. Vyjádřete vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země jako procentuální část zemského poloměru.

  • Celkové řešení

    Na úvod nakreslíme obrázek situace (viz níže). Zemi a Měsíc můžeme považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6 378 km). Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

    Soustava Země-Měsíc v souřadném systému

    Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice yT, zT hmotného středu platí:

    \[y_\mathrm{T}\,=\,z_\mathrm{T}\,=\,0.\]

    Pro výpočet zbývající neznámé xT použijeme obecný vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů:

    \[\vec{r}_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}\vec{r}_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}},\]

    kde mi jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a ri jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici xT v naší soustavě:

    \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}x_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}}}.\tag{1}\]

    Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

    \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

    Číselně:

    \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

    Protože poloměr Země je 6 378 km, představuje vzdálenost xT přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země–Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

  • Odpověď

    Polohu hmotného středu soustavy Země–Měsíc můžeme v našem souřadném systému popsat těmito souřadnicemi:

    \[x_\mathrm{T}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km},\] \[y_\mathrm{T}\,=\,0\,\mathrm{km},\] \[z_\mathrm{T}\,=\,0\,\mathrm{km}.\]

    Hmotný střed soustavy se nachází ve vzdálenosti 0,734-násobku zemského poloměru od středu Země.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha rutinní
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
En translation
Zaslat komentář k úloze