Tvrdost oceli podle Brinela

Úloha číslo: 2147

Tvrdost oceli podle Brinela je 450. Jaký je průměr otisku, byla-li zkouška provedena kuličkou o průměru 5 mm při zatížení 2700 N?

Tvrdost podle Brinela
  • Poznámka

    Johan Augustus Brinell byl švédský inženýr, který přišel s metodou pro určení tvrdosti materiálu statickou zkouškou. Ta probíhá tak, že ocelová kulička působením síly proniká do zkoumaného materiálu. Důsledkem toho vzniká v materiálu otisk. Tvrdost pak můžeme určit pomocí poměru zatížení na kuličku a plochou vrchlíku otisku. Tvrdost je udána v kg·mm-2.

  • Zápis

    HB = 4500 Nmm−2 tvrdost podle Brinela
    D = 5 mm průměr kuličky
    F = 2700 N zatížení při zkoušce
    d = ? mm průměr otisku
  • Rozbor

    Tvrdost oceli podle Brinela se bere jako podíl mezi silou, kterou kuličku tlačíme kolmo na povrch oceli, a plochou vrchlíku kuličky, která na povrchu oceli zůstane jako otisk. Budeme tedy potřebovat vyjádřit plochu vrchlíku ne v závislosti na jeho výšce, ale jeho průměru a tedy i průměru otisku.

  • Nápověda

    Připomeňte si vztah pro obsah vrchlíku. Využijte Thaletovu kružnici k vyjádření obsahu vrchlíku v závislosti na jeho průměru. Pak si napište vztah pro tvrdost a vyjádřete z něj hledaný průměr.

  • Řešení

    Pro obsah vrchlíku platí vztah:

    \[S\,=\,\pi Dv.\]

    Otisk kuličky si můžeme představit jako vrchlík koule. Proto bude dobré si zavést ještě výšku vrchlíku v a také a tak, aby platilo (viz obrázek):

    \[D\,=\,2v+a.\tag{1}\]

    Thaletova kružnice

    Když použijeme vlastnost Thaletovy kružnice, jak je tomu na obrázku, a Pythágorovu větu, pak můžeme a napsat ve tvaru:

    \[a\,=\,\sqrt{D^2-d^2}.\tag{2}\]

    Ze (2) dosadíme do (1), pak:

    \[D\,=\,2v+\sqrt{D^2-d^2}.\tag{3}\]

    Ze (3) vyjádříme v:

    \[v\,=\,\frac{1}{2}\left({D-\sqrt{D^2-d^2}}\right).\tag{4}\]

    Pak už můžeme určit obsah vrchlíku:

    \[S\,=\,\pi Dv\,=\,\frac{\pi D}{2}\left({D-\sqrt{D^2-d^2}}\right).\tag{5}\]

    Vztah pro tvrdost podle Brinela je:

    \[H_B\,=\,\frac{F}{S}\,=\,\frac{2F}{\pi D\left({D-\sqrt{D^2-d^2}}\right)}.\tag{6}\]

    Rovnici (6) můžeme upravit na:

    \[D-\sqrt{D^2-d^2}\,=\,\frac{2F}{\pi D H_B}.\tag{7}\]

    Dále ještě můžeme upravit na:

    \[D^2-d^2\,=\,D^2-\frac{4F}{\pi H_B}+\frac{4F^2}{\pi^2 D^2H_B^2}.\tag{8}\]

    Nyní nám už zbývá pouze vyjádřit z (8) průměr otisku d:

    \[d\,=\,\sqrt{\frac{4F}{\pi H_B}-\frac{4F^2}{\pi^2 D^2H_B^2}}.\tag{9}\]

    Můžeme už tedy dosadit, a vypočítat:

    \[d\,=\,\sqrt{\frac{4{\cdot}2700}{\pi \cdot4500}-\frac{4{\cdot}2700^2}{\pi^2 {\cdot}5^2{\cdot}4500^2}} \mathrm{mm}\,=\,0{,}871 \mathrm{mm}.\]
  • Odpověď

    Průměr otisku je:

    \[d\,=\,0{,}871 \mathrm{mm}.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze