Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita rekurentně zadané posloupnosti VII

Úloha číslo: 881

Dokažte, že reálné posloupnosti {xn} a {yn} definované vztahy

\[x_1 = a, \ y_1 = b, \qquad x_{n+1} = \sqrt{x_ny_n}, \ y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2}\]

mají společnou limitu. Samozřejmě předpokládáme, že a ≥ 0 a b ≥ 0.

Poznámka: Tato limita je tzv. aritmeticko-geometrickým průměrem čísel a a b.

  • Řešení

    Zřejmě se předpokládá, že obě čísla a, b jsou kladné, jinak bude tvrzení těžko platit (posloupnosti by ani nebyly korektně definovány).

    Zřejmě platí (pro n ≥ 2), že

    \[x_{n} \leq y_{n} \Longleftrightarrow \sqrt{x_{n-1}y_{n-1}} \leq \frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2}.\]

    To plyne z tzv. AG-nerovnosti pro dvě kladná čísla

    \[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2},\]

    kterou lze snadno dokázat umocněním a elementárními úpravami.

    Odtud ale plyne, že

    \[x_{n+1} = \sqrt{x_ny_n} \geq \sqrt{x_nx_n} = x_n\]

    a naopak

    \[y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} \leq \frac{y_n+y_n}{2} = y_n.\]

    Posloupnosti {xn)}, {yn} jsou tedy monotónní (a to ostře, pokud není xn = yn) a podle dokázaných nerovností je zřejmě

    \[\min\{a,x_1\} \leq x_2 \leq x_n \leq y_n \leq y_2 \leq \max\{b,x_2\}.\]

    Tudíž jsou obě omezené, a tudíž konvergentní. Dokážeme, že mají stejnou limitu.

    Nechť

    \[\lim \ x_n = L_1, \qquad \lim \ y_n = L_2,\]

    potom musí platit, že

    \[\lim y_{n+1} = \lim \frac{x_n+y_n}{2} \implies L_2 = \frac{L_1+L_2}{2} \implies L_1 = L_2.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze