Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Úroveň náročnosti
Štítky
Obecné
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita rekurentně zadané posloupnosti VII
Úloha číslo: 881
Dokažte, že reálné posloupnosti {xn} a {yn} definované vztahy
x1=a, y1=b,xn+1=√xnyn, yn+1=xn+yn2mají společnou limitu. Samozřejmě předpokládáme, že a ≥ 0 a b ≥ 0.
Poznámka: Tato limita je tzv. aritmeticko-geometrickým průměrem čísel a a b.
Řešení
Zřejmě se předpokládá, že obě čísla a, b jsou kladné, jinak bude tvrzení těžko platit (posloupnosti by ani nebyly korektně definovány).
Zřejmě platí (pro n ≥ 2), že
xn≤yn⟺√xn−1yn−1≤xn−1+yn−12.To plyne z tzv. AG-nerovnosti pro dvě kladná čísla
√ab≤a+b2,kterou lze snadno dokázat umocněním a elementárními úpravami.
Odtud ale plyne, že
xn+1=√xnyn≥√xnxn=xna naopak
yn+1=xn+yn2≤yn+yn2=yn.Posloupnosti {xn)}, {yn} jsou tedy monotónní (a to ostře, pokud není xn = yn) a podle dokázaných nerovností je zřejmě
min{a,x1}≤x2≤xn≤yn≤y2≤max{b,x2}.Tudíž jsou obě omezené, a tudíž konvergentní. Dokážeme, že mají stejnou limitu.
Nechť
lim xn=L1,lim yn=L2,potom musí platit, že
limyn+1=limxn+yn2⟹L2=L1+L22⟹L1=L2.
