Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Obecné
«
«
«
Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Limita rekurentně zadané posloupnosti VII

Úloha číslo: 881

Dokažte, že reálné posloupnosti {xn} a {yn} definované vztahy

x1=a, y1=b,xn+1=xnyn, yn+1=xn+yn2

mají společnou limitu. Samozřejmě předpokládáme, že a ≥ 0 a b ≥ 0.

Poznámka: Tato limita je tzv. aritmeticko-geometrickým průměrem čísel a a b.

  • Řešení

    Zřejmě se předpokládá, že obě čísla a, b jsou kladné, jinak bude tvrzení těžko platit (posloupnosti by ani nebyly korektně definovány).

    Zřejmě platí (pro n ≥ 2), že

    xnynxn1yn1xn1+yn12.

    To plyne z tzv. AG-nerovnosti pro dvě kladná čísla

    aba+b2,

    kterou lze snadno dokázat umocněním a elementárními úpravami.

    Odtud ale plyne, že

    xn+1=xnynxnxn=xn

    a naopak

    yn+1=xn+yn2yn+yn2=yn.

    Posloupnosti {xn)}, {yn} jsou tedy monotónní (a to ostře, pokud není xn = yn) a podle dokázaných nerovností je zřejmě

    min{a,x1}x2xnyny2max{b,x2}.

    Tudíž jsou obě omezené, a tudíž konvergentní. Dokážeme, že mají stejnou limitu.

    Nechť

    lim xn=L1,lim yn=L2,

    potom musí platit, že

    limyn+1=limxn+yn2L2=L1+L22L1=L2.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Zaslat komentář k úloze