Věta o existenci limity monotónní posloupnosti
Úloha číslo: 873
(a) Dokažte, že každá monotónní posloupnost reálných čísel má limitu.
(b) Dokažte, že každá neklesající a shora omezená posloupnost reálných čísel je konvergentní.
(c) Dokažte, že každá nerostoucí a zdola omezená posloupnost reálných čísel je konvergentní.
Řešení
1. Předpokládejme nejprve, že posloupnost reálných čísel, označme ji {an} je neklesající a omezená shora. Poté podle axiomu o supremu existuje reálné číslo L, pro které platí, že
\[L = \sup_{n\in \mathbf N} \{a_n\}.\]Volme libovolně ε > 0. Podle definice suprema musí existovat člen posloupnosti aN tak, že
\[a_N > L-\varepsilon.\]Protože posloupnost je neklesající, platí to také pro všechny následující členy.
Avšak opět podle definice suprema platí pro všechny členy posloupnosti, že
\[a_n \leq L < L+\varepsilon.\]Z obou nerovností pak vyplývá, že od indexu N počínaje platí
\[L-\varepsilon < a_n < L+\varepsilon \Longleftrightarrow |a_n-L| < \varepsilon.\]Podle definice limity posloupnosti je tudíž číslo L limitou posloupnosti {an}.
2. Předpokládejme nyní, že posloupnost reálných čísel, označme ji opět {an} je neklesající a neomezená shora. Podle definice (ne)omezenosti shora musí platit, že pro každé reálné číslo K existuje člen posloupnosti aN tak, že
\[a_N > K.\]Protože posloupnost je neklesající, platí to také pro všechny následující členy.
Podle definice nevlastní limity posloupnosti je tudíž +∞ limitou posloupnosti {an}.
3. Z minulých dvou odstavců plyne, že pokud je posloupnost neklesající, má limitu.
Je-li nyní posloupnost {an} nerostoucí, potom je posloupnost {(-1)·an} neklesající, tudíž má limitu L (ať již vlastní či +∞), a tudíž podle věty o aritmetice limit platí
\[\lim \ a_n = \lim (-1)\cdot \lim (-1)a_n = (-1)\cdot L = -L,\]kde –L je tedy buď reálné číslo nebo –∞.
