Goniometrické substituce - odvození
Úloha číslo: 1256
Odvoďte následující vztahy:
základní goniometrická substituce \(t=\sin{x}\) pro funkce F splňující \(F(\sin{x},-\cos{x})=-F(\sin{x},\cos{x})\)
\(t=\sin{x}\)
\(\cos{x}=\sqrt{1-t^2}\)
\(dx=\sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt\)
základní goniometrická substituce \(t=\cos{x}\) pro funkce F splňující \(F(-\sin{x},\cos{x})=-F(\sin{x},\cos{x})\)
\(t=\cos{x}\)
\(\sin{x}=\sqrt{1-t^2}\)
\(dx=-\sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt\)
základní goniometrická substituce \(t=\tan{x}\) pro funkce F splňující \(F(-\sin{x},-\cos{x})=F(\sin{x},\cos{x})\) kde \(x \ne k\frac{\pi}{2} +k\pi,\, k \in Z \)
\(t=\tan{x}\)
\(\sin{x}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\)
\(\cos{x}=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\)
\(dx=\frac{1}{1+t^2}dt\)
a nakonec pak ultimátní nástroj v podobě substituce \(t=\tan{\frac{x}{2}}\), kde \(x \ne k{\pi},\, k \in Z \)
\(t=\tan{\frac{x}{2}}\)
\(\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)
\(\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)
\(dx=\frac{2}{1+t^2}dt\)
U poslední zmíněné je často třeba provést takzvané lepení, proto je rozumnější, je-li to možné, použít některou s dříve uvedených substitucí.
Rozbor
S využitím definic, základních vlastností, záklaních vztahů pro goniometrické funkce a základů diferenciálního počtu odvodíme důležité vztahy pro používané goniometrické sumbstituce.
Goniometrické substituce jsou výhodné v případě, že se setkáme s příkladem, kdy naším úkolem je určit primitivní funkci k racionální lomené funkci, kde se v jmenovateli nebo v čitateli vyskytují právě funkce goniometrické a my nejsme schopni určit výsledek na první pohled nebo se nám nedaří určit odpovídající substituci
Díky těmto substitucím převádíme problémy na výpočet obyčejných racionálních lomených funkcí nebo častěji na výpočet racionálních lomených funkcí s odmocninou v čitateli nebo jmenovateli a tedy na problematiku Eulerových substitucí, které jsou upočitatelnější
Substituce 1. Nápověda
Využijte vlastnost \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\) a základní derivace funkcí známé, například, z úlohy: Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné
Substituce 2. Nápověda
Využijte vlastnost \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\) a základní derivace funkcí známé, například, z úlohy: Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné
Substituce 2. Nápověda - Řešení
Nechť F splňuje podmínku \(F(-\sin{x},\cos{x})=-F(\sin{x},\cos{x})\) a nechť \(t=\cos{x}\).
Pro vyjádření \(x\) využijeme definice inverzní funkce \(\arccos{x}:=\cos^{-1}{x}\) a definice inverzního zobrazení:
\[\cos{x}=t \Rightarrow x=\arccos{t}\]a následně vyjádříme derivaci x podle t jako:
\[dx=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt\]zbývá vyjádřit \(\sin{x}\) pomocí proměnné t, což uděláme s využitím rovnosti \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\) a vztahu \(t=\cos{x}\) jako:
\[\sin{x}=\sqrt{1-\cos^2{x}}=\sqrt{1-t^2}\]Substituce 3. Nápověda
Využijte vlastnosti \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\), identity: \(\mathrm{tg}\,{a}=\frac{\sin{a}}{\cos{a}}\) a základní derivace funkcí známé, například, z úlohy: Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné
Substituce 4. Nápověda
Využijte vlastnosti \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\), identit: \(\mathrm{tg}\,{a}=\frac{\sin{a}}{\cos{a}}\), \(2\sin{a}\cos{a}=\sin{2a}\) a \(\cos{2a}=\cos^2{a}-\sin^2{a}\) a základní derivace funkcí známé, například, z úlohy: Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné
Substituce 4. Nápověda - Řešení
Nechť \(t=\tan{x}\), kde \(x \ne k{\pi},\, k \in Z \).
Pro vyjádření \(x\) využijeme definice inverzní funkce \(\arctan{a}:=\tan^{-1}{a}\) a definice inverzního zobrazení:
\[\tan{\frac{x}{2}}=t \Rightarrow x=2\arctan{t}\]a následně vyjádříme derivaci x podle t jako:
\[dx=\frac{2}{1+t^2}dt\]Abychom vyjádřili výrazy \(\sin{x}\) a \(\cos{x}\) musíme využít definice funkce tangens a zavedené substituce:
\[t=\tan{\frac{x}{2}}=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\Rightarrow t=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\]funkce ve jmenovateli i v čitateli jsou obě pro poloviční argument, my však potřebujeme výraz upravit tak, abychom získali výraz obsahující goniometrické funkce pro celý argument, čehož dosáhneme využitím identit, uvedených v nápovědě úlohy.
nejprve výraz rozšíříme chytrou jedničkou na tak, abychom mohli využít identitu \(2\sin{a}\cos{a}=\sin{2a}\):
\[t=\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\cdot\frac{2\cos{\frac{x}{2}}}{2\cos{\frac{x}{2}}}\] \[t=\frac{\sin{x}}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}\]výraz v čitateli jsme evidentně upravili, zbývá upravit ten ve jmenovateli, za tímto účelem budeme potřebovat identitu \(\cos{2a}=\cos^2{a}-\sin^2{a}\), kterou upravíme pomocí identity \(1=\sin^2{a}+cos^2{a}\) jako:
\[\cos{2a}=\cos^2{a}-\sin^2{a}\] \[\cos{2a}=\cos^2{a}-1+\cos^2{a}\] \[\cos{2a}+1=2\cos^2{a}\]získaný výraz \(\cos{2a}+1=2\cos^2{a}\) následně dosadíme do naší rovnice a obdržímě tak:
\[t=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}\]Nejprve vyjádříme například výraz \(\sin{x}\) pomocí proměnné t úpravou rovnice jako:
\[t=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{\sin{x}}{1+\sqrt{1-\sin^2{x}}}\]opět jsme využili vlastnosti \(1=\cos^2{a}+\sin^2{a}\)
. \[t(1+\sqrt{1-\sin^2{x}})=\sin{x}\]obě strany rovnosti jsme rozšířili výrazem ve jmenovateli a zbavili se tak zlomků
\[\sin{x}-t=t\sqrt{1-\sin^2{x}}\] \[\sin^2{x}-2t\sin{x}+t^2=t^2-t^2\sin^2{x}\] \[\sin{x}-2t=-t^2\sin{x}\] \[\sin{x}(1+t^2)=2t\] \[\sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\]vhodnými úpravami nakonec osamostatnili výraz \(\sin{x}\)
Nakonec zbývá vyjádřit výraz \(\cos{x}\) pomocí proměnné t úpravou rovnice jako:
\[t=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{\sqrt{1-\cos^2{x}}}{1+\cos{x}}\]opět jsme využili vlastnosti \(1=\cos^2{a}+\sin^2{a}\)
. \[t=\sqrt{\frac{1-\cos^2{x}}{(1+\cos{x})^2}}=\sqrt{\frac{(1-\cos{x})(1+\cos{x})}{(1+\cos{x})^2}}=\sqrt{\frac{(1-\cos{x})}{(1+\cos{x})}}\]rozšířili výraz ve jmenovateli pod odmocninu a následně s využitím vzorce \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) vhodně upravili
\[t^2=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\] \[t^2(1+\cos{x})=1-\cos{x}\]umocnili a obě strany rovnosti jsme rozšířili výrazem ve jmenovateli a zbavili se tak zlomků
\[t^2(1+\cos{x})=1-\cos{x}\] \[-\cos{x}(1+t^2)=t^2-1\] \[\cos{x}=\frac{1-t^2}{1+t^2}\]vhodnými úpravami nakonec osamostatnili výraz \(\cos{x}\)
