Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita rekurentně zadané posloupnosti II
Úloha číslo: 875
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[x_1 = \sqrt{2}, \qquad x_{n+1} = \sqrt{2+x_n}\]a pokud existuje, určete ji!
Řešení
Pro n-tý člen máme vzorec
\[x_n = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n odmocnin}}.\]Posloupnost {xn} je zřejmě ostře rostoucí, neboť nerovnost xn+1 > xn se lehce ověří (např. umocněním).
Dokážeme, že xn ≤ 2 pro libovolné n; umocňováním na druhou totiž postupně dostáváme
\[x_n \leq 2 \Longleftrightarrow \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n odmocnin}} \leq 2 \Longleftrightarrow\] \[\Longleftrightarrow 2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+ \sqrt{2}}}}_{\textrm{n-1 odmocnin}} \leq 4 \Longleftrightarrow \] \[\Longleftrightarrow \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n-1 odmocnin}} \leq 2 \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow \sqrt{2} \leq 2.\]Protože posloupnost je monotónní a omezená, konverguje (viz úlohu Věta o existenci limity monotónní posloupnosti, tj. má vlastní limitu L. Tuto limitu lze nyní navíc snadno spočítat, neboť
\[\lim x_{n+1} = \lim \sqrt{2+x_n}\]A podle úlohy Limita pod odmocninou I a věty o limitě vybrané podposloupnosti máme
\[L = \sqrt{2+L},\] \[L = 2.\]
