Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita rekurentně zadané posloupnosti II

Úloha číslo: 875

Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy

\[x_1 = \sqrt{2}, \qquad x_{n+1} = \sqrt{2+x_n}\]

a pokud existuje, určete ji!

  • Řešení

    Pro n-tý člen máme vzorec

    \[x_n = \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n odmocnin}}.\]

    Posloupnost {xn} je zřejmě ostře rostoucí, neboť nerovnost xn+1 > xn se lehce ověří (např. umocněním).

    Dokážeme, že xn ≤ 2 pro libovolné n; umocňováním na druhou totiž postupně dostáváme

    \[x_n \leq 2 \Longleftrightarrow \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n odmocnin}} \leq 2 \Longleftrightarrow\] \[\Longleftrightarrow 2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+ \sqrt{2}}}}_{\textrm{n-1 odmocnin}} \leq 4 \Longleftrightarrow \] \[\Longleftrightarrow \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2}}}}_{\textrm{n-1 odmocnin}} \leq 2 \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow \sqrt{2} \leq 2.\]

    Protože posloupnost je monotónní a omezená, konverguje (viz úlohu Věta o existenci limity monotónní posloupnosti, tj. má vlastní limitu L. Tuto limitu lze nyní navíc snadno spočítat, neboť

    \[\lim x_{n+1} = \lim \sqrt{2+x_n}\]

    A podle úlohy Limita pod odmocninou I a věty o limitě vybrané podposloupnosti máme

    \[L = \sqrt{2+L},\] \[L = 2.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze