Sbírka řešených úloh

Limita cyklometrické funkce VIII.

Úloha číslo: 1227

• Nápověda 1

  Ověřte, zda-li má zadání smysl, tj. zda-li výraz v argumentu funkce \(\arccos\) patří pro příslušná \(x\) do definičního oboru.

• Řešení nápovědy 1

  Definiční obor funkce \(\arccos\) je \(\langle -1{,}1\rangle\). Snadno nahlédneme, že pro \(x\gt 0\) platí: \[ 0< \sqrt{x^2 + x}-x <1, \] a tedy zádání má smysl.

• Nápověda 2

  Užijte spojitosti funkce \(\arccos\) na svém definičním oboru, jako podmínky (S) pro použití Věta o limitě složené funkce.

• Řešení nápovědy 2

  Neboť je funkce \(\arccos\) spojitá na svém defininičním oboru lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right].\]

• Nápověda 3

  V limitě máme neurčitý výraz typu \(\infty - \infty\). Pokuste se neurčitého výrazu zbavit vhodným rozšířením podle vzorce \[ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).\]

• Řešení nápovědy 3

  V limitě máme neurčitý výraz typu \(\infty - \infty\). Zbavíme se jej vhodným rozšířením podle vzorce \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).\) \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right]= \] \[ =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]= \] \[ =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x^2 + x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]. \]

• Nápověda 4

  Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkněte nejsilnější člen a vykraťte jej. Dále použijte větu o aritmetice limit a znalost limity \(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.\) Úlohu dopočítejte.

• Řešení nápovědy 4

  Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejsilnější člen \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right]. \] Vytknutý člen vykrátíme a použijeme větu o aritmetice limit a znalost \(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.\) \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ 1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\right] = \] \[ = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.\]

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Definiční obor funkce \(\arccos\) je \(\langle -1{,}1\rangle\). Snadno nahlédneme, že pro \(x\gt 0\) platí: \[ 0< \sqrt{x^2 + x}-x <1, \] a tedy zádání má smysl. Neboť je funkce \(\arccos\) spojitá na svém defininičním oboru lze dle Věta o limitě složené funkce psát \[ \lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right].\] V limitě máme neurčitý výraz typu \(\infty - \infty\). Zbavíme se jej vhodným rozšířením podle vzorce \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).\) \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right]= \] \[ =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]= \] \[ =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x^2 + x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]. \] Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejsilnější člen \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right]. \] Vytknutý člen vykrátíme a použijeme větu o aritmetice limit a znalost \(\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.\) \[ \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ 1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\right] = \] \[ = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.\]

• Výsledek

  \[ \lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \frac{\pi}{3}. \]