Sbírka řešených úloh

Limita cyklometrické funkce VIII.

Úloha číslo: 1227

• Nápověda 1

  Ověřte, zda-li má zadání smysl, tj. zda-li výraz v argumentu funkce $\arccos$ patří pro příslušná $x$ do definičního oboru.

• Řešení nápovědy 1

  Definiční obor funkce $\arccos$ je $\langle -1{,}1\rangle$. Snadno nahlédneme, že pro $x\gt 0$ platí: $$0< \sqrt{x^2 + x}-x <1,$$ a tedy zádání má smysl.

• Nápověda 2

  Užijte spojitosti funkce $\arccos$ na svém definičním oboru, jako podmínky (S) pro použití Věta o limitě složené funkce.

• Řešení nápovědy 2

  Neboť je funkce $\arccos$ spojitá na svém defininičním oboru lze dle Věta o limitě složené funkce psát $$\lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right].$$

• Nápověda 3

  V limitě máme neurčitý výraz typu $\infty - \infty$. Pokuste se neurčitého výrazu zbavit vhodným rozšířením podle vzorce $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).$$

• Řešení nápovědy 3

  V limitě máme neurčitý výraz typu $\infty - \infty$. Zbavíme se jej vhodným rozšířením podle vzorce $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).$ $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right]=$$ $$=\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]=$$ $$=\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x^2 + x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right].$$

• Nápověda 4

  Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkněte nejsilnější člen a vykraťte jej. Dále použijte větu o aritmetice limit a znalost limity $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.$ Úlohu dopočítejte.

• Řešení nápovědy 4

  Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejsilnější člen $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right].$$ Vytknutý člen vykrátíme a použijeme větu o aritmetice limit a znalost $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.$ $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ 1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\right] =$$ $$= \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.$$

• CELKOVÉ ŘEŠENÍ

  Definiční obor funkce $\arccos$ je $\langle -1{,}1\rangle$. Snadno nahlédneme, že pro $x\gt 0$ platí: $$0< \sqrt{x^2 + x}-x <1,$$ a tedy zádání má smysl. Neboť je funkce $\arccos$ spojitá na svém defininičním oboru lze dle Věta o limitě složené funkce psát $$\lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right].$$ V limitě máme neurčitý výraz typu $\infty - \infty$. Zbavíme se jej vhodným rozšířením podle vzorce $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).$ $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right)\right]=$$ $$=\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right]=$$ $$=\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x^2 + x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] =\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right].$$ Nyní počítáme limitu podílu dvou funkcí v nevlastním bodě. Z čitatele i jmenovatele vytkneme nejsilnější člen $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{\sqrt{x^2+x}+x}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right].$$ Vytknutý člen vykrátíme a použijeme větu o aritmetice limit a znalost $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0.$ $$\arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}\right] = \arccos \left[ \lim\limits_{x\to +\infty}\frac{ 1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\right] =$$ $$= \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.$$

• Výsledek

  $$\lim\limits_{x\to +\infty} \arccos\left( \sqrt{x^2 + x}-x\right) = \frac{\pi}{3}.$$