Limita obecné racionální posloupnosti
Úloha číslo: 807
Buďte k, l přirozená čísla a a0, …, ak, b0, …, bl reálná čísla.
Dokažte, že limita
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{a_kn^k + a_{k-1}n^{k-1} + \cdots + a_1n + a_0}{b_ln^l + b_{l-1}n^{l-1} + \cdots + b_1n + b_0}\]je rovna
(a) nule, pokud k < l,
(b) plus nekonečnu, pokud k > l a podíl čísel ak a bl je kladné číslo,
(c) minus nekonečnu, pokud k > l a podíl čísel ak a bl je záporné číslo,
(d) podílu čísel ak a bl, pokud k = l.
Komentář
Poznámka: Tvrzení lze mírně zobecnit do následující podoby.
Buďte k, l přirozená čísla, a0, …, ak, b0, …, bl reálná čísla a α1 < … < αk, β1 < … < βl reálná čísla, přičemž navíc předpokládejme, že nejvyšší exponenty, tj. čísla αk a βl jsou kladná čísla.
Potom platí, že limita
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{a_kn^{\alpha_k} + a_{k-1}n^{\alpha_{k-1}} + \cdots + a_1n^{\alpha_1} + a_0}{b_ln^{\beta_l} + b_{l-1}n^{\beta_{l-1}} + \cdots + b_1n^{\beta_1} + b_0}\]je rovna
(a) nule, pokud αk < βl,
(b) plus nekonečnu, pokud αk > βl a podíl čísel ak a bl je kladné číslo,
(c) minus nekonečnu, pokud αk > βl a podíl čísel ak a bl je záporné číslo,
(d) podílu čísel ak a bl, pokud αk = βl.
Důkaz v podstatě zůstává stejný.
Řešení
Vytkněme z čitatele i ze jmenovatele nejvyšší mocninu n
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{a_kn^k + a_{k-1}n^{k-1} + \cdots + a_1n + a_0}{b_ln^l + b_{l-1}n^{l-1} + \cdots + b_1n + b_0} =\] \[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}} =\]a poté použijeme větu o aritmetice limit
\[= \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}}.\]Dodejme, že použití věty o aritmetice limit bylo korektní, pokud ukážeme, že výraz na pravé straně má smysl.
Za tím účelem nejprve spočteme druhou z obou limit
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}}=\]Opakovaným použitím věty o aritmetice limit dostáváme
\[=\frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} \left(a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}\right)}{\lim\limits_{\small n\to\infty}\left(b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}\right)}=\] \[=\frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} a_k + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{a_1}{n^{k-1}} + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{a_0}{n^k}}{\lim\limits_{\small n\to\infty} b_l + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{b_1}{n^{l-1}} + \lim\limits_{\small n\to\infty} \frac{b_0}{n^l}}=\]přičemž první limity v čitateli i jmenovateli jsou limitami konstatních posloupností {ak} a {bl} a podle bodu 1 úlohy Základní limity posloupností jsou jejich limity tudíž ak a bl. Všechny další limity v čitateli a jmenovateli jsou pak podle části (a) úlohy Základní limity posloupností II rovny nule. Dostáváme tak
\[=\frac{a_k + 0 + \cdots + 0 + 0}{b_l + 0 + \cdots + 0 + 0} = \frac{a_k}{b_l}\]Nyní spočtěme první limitu ve zmíněném součinu
\[ \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l}.\]Tato limita je rovna
(a) nule, pokud k < l, neboť potom
\[ \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} = \lim_{\small n\to\infty} \frac{1}{n^{l-k}} = 0,\]protože mocnina l – k > 0 a nulová limita je tak důsledkem tvrzení (a) úlohy Základní limity posloupností II. V takovém případě potom pro celou počítanou limitu máme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}} = 0\cdot\frac{a_k}{b_l} = 0.\](b) plus nekonečnu, pokud k > l, neboť potom
\[ \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} = \lim_{\small n\to\infty} n^{k-l} = +\infty,\]protože mocnina k – l > 0 a nulová limita je tak důsledkem tvrzení (b) úlohy Základní limity posloupností II. V takovém případě potom pro celou počítanou limitu máme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}} = (+\infty)\cdot\frac{a_k}{b_l}.\]Je-li navíc podíl čísel ak a bl kladné číslo, potom
\[(+\infty)\cdot\frac{a_k}{b_l} = +\infty.\](c) Je-li stejně jako v předchozím případě k > l, potom stejným postupem dostáváme, že
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}} = (+\infty)\cdot\frac{a_k}{b_l}.\]Je-li pak podíl čísel ak a bl záporné číslo, potom
\[(+\infty)\cdot\frac{a_k}{b_l} = -\infty.\](d) Je-li k = l, potom
\[ \lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} = \lim_{\small n\to\infty} 1 = 1.\]Tudíž máme
\[\lim_{\small n\to\infty} \frac{n^k}{n^l} \cdot \lim_{\small n\to\infty} \frac{a_k + \frac{a_{k-1}}{n} + \cdots + \frac{a_1}{n^{k-1}} + \frac{a_0}{n^k}}{b_l + \frac{b_{l-1}}{n} + \cdots + \frac{b_1}{n^{l-1}} + \frac{b_0}{n^l}} = 1\cdot\frac{a_k}{b_l} = \frac{a_k}{b_l}.\]Výše vyjmenované případy pokrývají všechny možnosti vztahů čísel k a l a znamének podílu ak/bl, neboť jsme předpokládali, že obě čísla ak i bl jsou nenulová.
Ve všech případech jsme dospěli k závěru, že použití věty o aritmetice limit vede nakonec k výrazu, který má smysl. Proto bylo její použití ve všech rovnostech korektní.
