Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce VI.

Úloha číslo: 1195

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\arctan n}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^{n/3}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\arctan n}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^{n/3}.\]

    Z Heineho věty vyplývá, že pokud existuje limita funkce

    \[\lim_{x\to +\infty} \left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)^{x/3},\]

    potom existuje také hledaná limita posloupnosti a je jí rovna.

    Protože platí, že

    \[\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)^{x/3} = \exp\left[\frac{x}{3}\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)\right],\]

    určeme nejprve limitu výrazu v hranatých závorkách napravo.

    Nahlédneme-li, že

    \[\lim_{x\to +\infty} -\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}} = -\frac{\pi/2}{+\infty} = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1\]

    a

    \[-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}} \neq 0 \qquad \textrm{na} \quad (0,+\infty),\]

    vyplývá z toho podle věty o limitě složené funkce, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}})}{-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}} = 1.\]

    S pomocí této limity a věty o aritmetice limit můžeme psát, že

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right) = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \left(-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)}{-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}} = \] \[ = -\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\cdot 1 = \]

    a nyní vytknutím ze jmenovatele a ze spojitosti odmocniny dostaneme

    \[ = -\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \frac{\arctan x}{x\sqrt{2+1/x^2}} = -\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3}\cdot \frac{\arctan x}{\sqrt{2+1/x^2}} = \] \[ = -\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi/2}{\sqrt{2+0}} = -\frac{\pi}{6\sqrt{2}}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze