Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita cyklometrické funkce VI.
Úloha číslo: 1195
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\arctan n}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^{n/3}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\arctan n}{\sqrt{2n^2+1}}\right)^{n/3}.\]Z Heineho věty vyplývá, že pokud existuje limita funkce
\[\lim_{x\to +\infty} \left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)^{x/3},\]potom existuje také hledaná limita posloupnosti a je jí rovna.
Protože platí, že
\[\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)^{x/3} = \exp\left[\frac{x}{3}\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)\right],\]určeme nejprve limitu výrazu v hranatých závorkách napravo.
Nahlédneme-li, že
\[\lim_{x\to +\infty} -\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}} = -\frac{\pi/2}{+\infty} = 0,\] \[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1\]a
\[-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}} \neq 0 \qquad \textrm{na} \quad (0,+\infty),\]vyplývá z toho podle věty o limitě složené funkce, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\log(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}})}{-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}} = 1.\]S pomocí této limity a věty o aritmetice limit můžeme psát, že
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right) = \] \[ = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \left(-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)\cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{\log\left(1-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\right)}{-\frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}} = \] \[ = -\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \frac{\arctan x}{\sqrt{2x^2+1}}\cdot 1 = \]a nyní vytknutím ze jmenovatele a ze spojitosti odmocniny dostaneme
\[ = -\lim_{x\to +\infty} \frac{x}{3}\cdot \frac{\arctan x}{x\sqrt{2+1/x^2}} = -\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{3}\cdot \frac{\arctan x}{\sqrt{2+1/x^2}} = \] \[ = -\frac{1}{3}\cdot \frac{\pi/2}{\sqrt{2+0}} = -\frac{\pi}{6\sqrt{2}}.\]
