Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce III.

Úloha číslo: 1191

Určete limitu funkce

\[\lim_{x\to 0+} \left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu funkce

    \[\lim_{x\to 0+} \left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}}.\]

    Platí, že

    \[\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}} = \exp\left[\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right) \right]\]

    Spočteme nejprve limitu výrazu v hranaté závorce napravo

    \[\lim_{x\to 0+} \frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right).\]

    Protože

    \[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\]

    a čtvrtá odmocnina je spojitou funkcí, máme

    \[\lim_{x\to 0} \sqrt[4]{\frac{x^2}{1-\cos x}} = \sqrt[4]{2}.\]

    Pomocí této limity a věty o aritmetice limit můžeme hledanou limitu zjednodušit

    \[\lim_{x\to 0+} \frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right) = \] \[ = \lim_{x\to 0+} \frac{\sqrt[4]{x^2}}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt[4]{x^2}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt{x}}.\]

    Díky spojitosti druhé odmocniny v nule zprava platí, že

    \[\lim_{x\to 0+} \sqrt{\arcsin x} = \sqrt{\arcsin 0} = \sqrt{0} = 0,\]

    a dále máme

    \[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1.\]

    Z těchto dvou limit vyplývá podle věty o limitě složené funkce, že

    \[\lim_{x\to 0+} \frac{\log(1-\sqrt{\arcsin x})}{-\sqrt{\arcsin x}} = 1,\]

    pokud ověříme poslední předpoklad, totiž že na nějakém pravém prstencovém okolí nuly je

    \[-\sqrt{\arcsin x}\neq 0.\]

    To platí např. proto, že arcsin a druhá odmocnina jsou ostře rostoucí funkce, jejich složení je tedy též ostře rostoucí funkce a v nule nabývá právě nuly, tudíž v bodech větších než nula nabývá hodnot větších než nula.

    Díky tomu a větě o aritmetice limit máme, že

    \[\sqrt[4]{2} \cdot \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt{x}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \cdot \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{-\sqrt{\arcsin x}} \cdot\frac{-\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{x}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \cdot 1 \cdot \lim_{x\to 0+} -\sqrt{\frac{\arcsin x}{x}} = \]

    a díky již zmíněné spojitosti druhé odmocniny platí, že

    \[ = \sqrt[4]{2} \cdot \left( -\sqrt{\lim_{x\to 0+}\frac{\arcsin x}{x}}\right) = \sqrt[4]{2}\cdot (-\sqrt{1}) = -\sqrt[4]{2},\]

    kde jsme využili limitu z úlohy Základní limity cyklometrických funkcí.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze