Limita cyklometrické funkce III.
Úloha číslo: 1191
Určete limitu funkce
\[\lim_{x\to 0+} \left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}}.\]Řešení
Určujeme limitu funkce
\[\lim_{x\to 0+} \left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}}.\]Platí, že
\[\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)^{\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}} = \exp\left[\frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right) \right]\]Spočteme nejprve limitu výrazu v hranaté závorce napravo
\[\lim_{x\to 0+} \frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right).\]Protože
\[\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\]a čtvrtá odmocnina je spojitou funkcí, máme
\[\lim_{x\to 0} \sqrt[4]{\frac{x^2}{1-\cos x}} = \sqrt[4]{2}.\]Pomocí této limity a věty o aritmetice limit můžeme hledanou limitu zjednodušit
\[\lim_{x\to 0+} \frac{1}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right) = \] \[ = \lim_{x\to 0+} \frac{\sqrt[4]{x^2}}{\sqrt[4]{1-\cos x}}\cdot\frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt[4]{x^2}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt{x}}.\]Díky spojitosti druhé odmocniny v nule zprava platí, že
\[\lim_{x\to 0+} \sqrt{\arcsin x} = \sqrt{\arcsin 0} = \sqrt{0} = 0,\]a dále máme
\[\lim_{y\to 0} \frac{\log(1+y)}{y} = 1.\]Z těchto dvou limit vyplývá podle věty o limitě složené funkce, že
\[\lim_{x\to 0+} \frac{\log(1-\sqrt{\arcsin x})}{-\sqrt{\arcsin x}} = 1,\]pokud ověříme poslední předpoklad, totiž že na nějakém pravém prstencovém okolí nuly je
\[-\sqrt{\arcsin x}\neq 0.\]To platí např. proto, že arcsin a druhá odmocnina jsou ostře rostoucí funkce, jejich složení je tedy též ostře rostoucí funkce a v nule nabývá právě nuly, tudíž v bodech větších než nula nabývá hodnot větších než nula.
Díky tomu a větě o aritmetice limit máme, že
\[\sqrt[4]{2} \cdot \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{\sqrt{x}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \cdot \lim_{x\to 0+} \frac{\log\left(1-\sqrt{\arcsin x}\right)}{-\sqrt{\arcsin x}} \cdot\frac{-\sqrt{\arcsin x}}{\sqrt{x}} = \] \[ = \sqrt[4]{2} \cdot 1 \cdot \lim_{x\to 0+} -\sqrt{\frac{\arcsin x}{x}} = \]a díky již zmíněné spojitosti druhé odmocniny platí, že
\[ = \sqrt[4]{2} \cdot \left( -\sqrt{\lim_{x\to 0+}\frac{\arcsin x}{x}}\right) = \sqrt[4]{2}\cdot (-\sqrt{1}) = -\sqrt[4]{2},\]kde jsme využili limitu z úlohy Základní limity cyklometrických funkcí.
