Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty III
Úloha číslo: 814
Určete následující limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{150}-(1+\frac{2}{n})^{60}}{(1-\frac{1}{n})^{99}+(1+\frac{3}{n})^{99}-2}.\]Nápověda
Použijte binomickou větu, v čitateli i jmenovateli určete člen 1/n s nejnižší mocninou, který poté zkraťte.
Řešení
Určujeme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{150}-(1+\frac{2}{n})^{60}}{(1-\frac{1}{n})^{99}+(1+\frac{3}{n})^{99}-2}.\]Použitím binomické věty v čitateli dostaneme
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{150} = \left(1+150\cdot\frac{1}{n}+V(n)\right),\]kde V(n) je výraz tvaru
\[V(n) = \frac{a_2}{n^2} + \frac{a_3}{n^3} + \ldots + \frac{a_{150}}{n^{150}},\]přičemž a2, ..., a150 jsou reálná čísla, která pro výpočet limity nepotřebujeme přesně vyčíslovat.
Podobně
\[\left(1+\frac{2}{n}\right)^{60} = \left(1+60\cdot\frac{2}{n}+W(n)\right),\]kde W(n) je výraz tvaru
\[W(n) = \frac{b_2}{n^2} + \frac{b_3}{n^3} + \ldots + \frac{b_{60}}{n^{60}},\]přičemž b2, ..., b60 jsou reálná čísla, která pro výpočet limity také nepotřebujeme přesně vyčíslovat.
Můžeme tedy psát
\[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{150}-\left(1+\frac{2}{n}\right)^{60} =\] \[ = \left(1+150\cdot\frac{1}{n}+V(n)\right)-\left(1+60\cdot\frac{2}{n}+W(n)\right) =\] \[ =\frac{30}{n}+V(n)-W(n).\]Podobně ve jmenovateli máme
\[\left(1-\frac{1}{n}\right)^{99}+\left(1+\frac{3}{n}\right)^{99}-2 =\] \[ = \left(1-99\cdot\frac{1}{n}+Y(n)\right) + \left(1+99\cdot\frac{3}{n}+Z(n)\right) -2 = \] \[ = \frac{198}{n}+Y(n)+Z(n),\]kde Y(n) a Z(n) jsou výrazy tvaru
\[Y(n) = \frac{c_2}{n^2} + \frac{c_3}{n^3} + \ldots + \frac{c_{99}}{n^{99}},\] \[Z(n) = \frac{d_2}{n^2} + \frac{d_3}{n^3} + \ldots + \frac{d_{99}}{n^{99}},\]přičemž c2, ..., c99, d2, ..., d99 jsou reálná čísla, která pro výpočet limity opět nepotřebujeme přesně vyčíslovat.
Dáme-li totiž dohromady výsledky pro čitatel i jmenovatel, můžeme psát
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(1+\frac{1}{n})^{150}-(1+\frac{2}{n})^{60}}{(1-\frac{1}{n})^{99}+(1+\frac{3}{n})^{99}-2} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \frac{\frac{30}{n}+V(n)-W(n)}{\frac{198}{n}+Y(n)+Z(n)} = \]a rozšíření čitatele i jmenovatele pomocí n dostaneme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{n}{n}\cdot \frac{\frac{30}{n}+V(n)-W(n)}{\frac{198}{n}+Y(n)+Z(n)} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{30+nV(n)-nW(n)}{198+nY(n)+nZ(n)} = \]přičemž aplikací věty o aritmetice limit dostaneme výsledek
\[ = \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} 30+\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n)-\lim\limits_{\small n\to\infty} nW(n)}{\lim\limits_{\small n\to\infty} 198+\lim\limits_{\small n\to\infty} nY(n)+\lim\limits_{\small n\to\infty} nZ(n)} = \] \[ = \frac{30+0-0}{198+0+0} = \frac{5}{33}.\]Zbývá pouze ukázat, že opravdu zbylé dvě limity v čitateli a dvě limity ve jmenovateli jsou nulové. To vyplývá opět z věty o aritmetice limit, neboť např.
\[\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n) = \lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\frac{a_2}{n} + \frac{a_3}{n^2} + \ldots + \frac{a_{150}}{n^{149}}\right) = 0 + 0 + \ldots + 0 = 0,\]přičemž si uvědomme, že sčítanců je pevný počet (150) a pravá strana má smysl, tudíž větu o aritmetice limit můžeme použít. U ostatních tří limit je postup zcela analogický.
