Než začneme řešit integrál \(\int{\sqrt{1+x^2}}dx\), je třeba zvolit vhodnou eulerovu substituci.
zvolme tak, abychom se po umocnění zbavili kvadratického členu:
\[x+t:=\sqrt{1+x^2}\]
\[ x^2+t^2+2xt=1+x^2\]
\[x=\frac{1-t^2}{2t}\]
dle aritmetiky derivací podílu určíme dx:
\[dx=\frac{-2t(2t)-2(1-t^2)}{4t^2}dt=-\frac{t^2+1}{2t^2}dt\]
dále vyjádříme dosazením \(x=\frac{1-t^2}{2t}\) do rovnosti \(x+t=\sqrt{1+x^2}\) získáme výraz vajadřující odmocninu pomocí parametru t:
\[\frac{1-t^2}{2t}+t=\sqrt{1+x^2}\]
\[\frac{1+t^2}{2t}=\sqrt{1+x^2}\]
a nakonec konečně provedeme substituci a integrál přepíšeme jako:
\[\int{\sqrt{1+x^2}}dx=\int{-\frac{t^2+1}{2t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}}dt=\]
\[=-\int{\frac{(1+t^2)^2}{4t^3}}dt=-\frac{1}{4}\int{\frac{1+2t^2+t^4}{t^3}}dt=\]
opět využijeme linearity integrálu a výraz přepíšeme jako:
\[-\frac{1}{4}\left( \int{t^{-3}}dt+2\int{t^{-1}}dt+\int{t}dt \right)=\]
což se dle úlohy Přehled základních primitivních funkcí rovná:
\[=-\frac{1}{4}\left(\frac{t^{-2}}{-2}+2\ln{|t|}+\frac{t^2}{2} \right)+c=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{-2t^2}+2\ln{|t|}+\frac{t^2}{2} \right)+c\]
provedeme zpětnou substituci \(t=(\sqrt{1+x^2}-x)\)
a obdržíme tak výraz:
\[=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{-2(\sqrt{1+x^2}-x)^2}+2\ln{|(\sqrt{1+x^2}-x)|}+\frac{(\sqrt{1+x^2}-x)^2}{2} \right)+c\]
