Vyšetřete průběh funkce I.

Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.

Vyšetřete průběh funkce I.

Úloha číslo: 1254

Vyšetřete průběh funkce:

\[f(x)=\left\vert x-2 \right\vert \cdot e^{x-1}\]

Rozbour
Co si přesně představit pod úlohami typu vyšetřete průběh funkce?

Naším úkolem bude získat co nejvíce vlastností funkce, abychom měli co nepřesnější představu o jejím průběhu a abychom byli schopni nakreslit co možná nejpřesnější graf zadané funkce.

Zejména nás budou zajímat tyto vlastnosti(zachována logická posloupnost vyšetřovaných vlastností):
1. Určete definiční obor funkce a případné body nespojitosti.
2. Ověřte, zdali je funkce sudá, lichá nebo periodická. V kladném případě můžeme další úkony omezit na nekladnou/nezápornou část osy nebo v případě, že je funkce periodická na interval jedné periody.
3. Spočtěte jednostranné limity v hraničních bodech definičního oboru funkce a v případných bodech nespojitosti. Získáte tak představu o případné omezenosti/neomezenosti funkce.
4. Pomocí záskané první derivace určete intervaly růstu a klesání funkce a její lokální maxima/minima
  
  Pokud to jde, určete jednostranné limity derivace zleva a zprava v těch bodech definičního oboru, kde první derivace neexistuje (určují sklon grafu funkce v těchto bodech)
5. Určete druhou derivaci funkce a s tím spojené body podezřelé z inflexe.
6. Pomocí záskané druhé derivace určete intervaly konvexnosti/konkávnosti funkce a její inflexní body
7. Ověřte, zdali funkce nemá asymptoty(tečny v nekonečnu)
8. Vypočítejte hodnoty, jichž funkce nabývá v důležitcý bodech - tj. v průsečících s osami, v bodech nespojitosti, v bodech extrémů funkce a v inflexních bodech.
9. Za pomoci získaných informací sestrojte graf funkce
Nápověda 1. - definiční obor a body nespojitosti.
Představte si, jak zkoumaná funkce vypadá (pro představu vzpomeňte na (\(g(x)=e^x\) a \(h(x)=|x|\)) a uvědomte si pro jaké hodnoty x je definována zkoumaná funkce(funkce z nichž je složena), případně, pro které hodnoty x nemá smysl.
Nápověda 1. - řešení - definiční obor a body nespojitosti.
Funkce \(f(x)=\left\vert x-2 \right\vert \cdot e^{x-1}\) má evidentně smysl pro všechna reálná čísla, neboť je složena z funkcí, jejichž definičními obory jsou všechna reálná čísla. O definičním oboru tedy můžeme napsat, že:
\[D_f=R\]
Nápověda 2. - Periodičnost, Sudost a Lichost.
Zamyslete se nad tím, jaké funkce obvykle bývají periodicé, jestli může být tedy i zadaná funkce periodická, případně určete periodu.

K vyšetření symetrie funkce je potřeba znát podobu grafu předem nebo vycházet z definice sudé/liché, případně periodické funkce.
Nápověda 2.- Řešení - Periodičnost, Sudost a Lichost.
Periodické obvykle bývají funkce goniometrické či cyklometrické, jak je známo, tak obecně mocniná funkce periodická není.

Můžeme také vyjít přímo z definice periodické funkce:
\[f(x+t)=f(x);\,\,t\ne 0\]
kde t rozumíme periodou funkce.

Pro jistotu ještě ověříme náš závěr výpočtem:
\[f(x+t)=f(x+t)=|x+t-2|\cdot e^{x+t-1}\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}f(x)=|x-2|\cdot e^{x-1}\]
Je patrné na pvní pohled, že rovnost platí pouze pro hodnotu parametru \(t=0\) a zkoumaná funkce tedy skutečně není periodická(můžeme ověřir a dopočíst).

Sudost či lichost vyšetříme pomocí definice těchto dvou vlastností funkce, kdy platí:
\[f(-x)=-f(x)\]
pro funkci lichou
\[f(-x)=f(x)\]
pro funkci sudou

Po dosazení získáváme rovnost:
\[f(-x)=\left\vert -x-2 \right\vert \cdot e^{-x-1}=|-1||x+2| \cdot \frac{1}{e^{x+1}}=|x+2| \cdot \frac{1}{e^{x+1}}\]
Nyní dle definice porovnáme s f(x) a -f(x):
\[f(x)=|x-2| \cdot \frac{1}{e^{x-1}}\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}|x+2| \cdot \frac{1}{e^{x+1}}\] \[-f(x)=-|x-2| \cdot \frac{1}{e^{x-1}}\overset{\underset{\mathrm{?}}{}}{=}|x+2| \cdot \frac{1}{e^{x+1}}\]
Na první pohled je patrné(můžeme ověřit výpočtem), že jak \(f(x)\), tak i \(-f(x)\), jsou různé od \(f(-x)\) z čehož plyne, že vyšetřovaná funkce není sudá ani lichá.

K tomuto poznání jsme ovšem mohli dojít bez jakéhokoli výpočtu, neboť je patrné, že je graf funkce posunutý na ose x, z čehož plyne, že funkce nemůže být symetrická vzhledem k ní ani k bodu [0,0].
Nápověda 2.- jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti
S využitím definice jednostranných limit a vět pro počítání limit funkcí spočteme limity v hraničních bodech D_f, což jsou v našem případě hodnoty plus a minus nekonečno.
Nápověda 2.- Řešení - jednostranné limity v hraničních bodech a bodech nespojitosti
Víme, že hraničními body D_f jsou hodnoty \(-\infty\) a \(+\infty\).

Hledanou limitu v \(+\infty\) vypočteme, dle definice jednostranné limity, jako:
\[\lim_{x \to +\infty_{-}}{|x-2| \cdot e^{x-1}}=\]
pro x jdoucí k plus nekonečnu můžeme absolutní hodnotu zrušit a limitu přepsat jako:
\[=\lim_{x \to +\infty_{-}}{(x-2) \cdot e^{x-1}} =\lim_{x \to +\infty_{-}}{(x-2) \cdot e^{x-1}}=\]
což dle aritmetiky limit součinu přepíšeme jako:
\[=\lim_{x \to +\infty_{-}}{x-2 \cdot \lim_{x \to +\infty_{-}} e^{x-1}}=\infty\cdot \infty=+\infty\]
Hledanou limitu v \(-\infty\) vypočteme analogycky dle definice jednostranné limity, jako:
\[\lim_{x \to -\infty_{+}}{|x-2| \cdot e^{x-1}}=\]
pro x jdoucí k plus nekonečnu můžeme absolutní hodnotu zrušit a limitu přepsat jako(uvědomme si, jak bude vypadat exponencila, když její argument bude nabývat záporných hodnot a také ji přepište):
\[=\lim_{x \to -\infty_{+}}{(2-x) \cdot e^{x-1}} =\lim_{x \to -\infty_{+}}{(2-x) \cdot e^{x-1}}=\] \[=\lim_{x \to +\infty_{-}}\frac{x-2}{e^{x-1}}=\]
využijeme známých limit z úlohy Přehledem používaných limit posloupností a obdržíme tak výsledek:
\[=0\]
Nyní, jsme díky dosavadním znalostem a znalosti limit v krajních bodech definičního oboru schopni prohlásit, že je zkoumaná funkce shora neomezená a zdola omezená nulou(neboť nemá žádné body nesymetrie a nabývá hodnot od nuly do plus nekonečna).
Nápověda 3.- První derivace a body podezřelé z extrémů
Pomocí známých derivací Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci. Následně za pomoci nutné podmínky existence lokálního extrému určíme body podezřelé z extrémů.
Nápověda 3.- Řešení - První derivace a body podezřelé z extrémů
Například pomocí známé derivace obecné mocninné funkce z úlohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme derivace zkoumané funkce jako:
\[f^{\prime}(x)=(|x-2| \cdot e^{x-1})^{\prime}=sgn{(x-2)}e^{x-1}+(x-2)e^{x-1}=\] \[=e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|)\]
Nutnou podmínkou pro existenci lokálního extrému je, že pokud má funkce v daném bodě vlastní první derivaci, její hodnota je rovna 0. Hledáme tedy takové body/taková x, v nichž první derivace nabývá nulové hodnoty nebo v nichž neexistuje.

Nyní určíme kořeny rovnice:
\[0=e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|)\]
\(e^{x-1}\) nikdy nenabývá nulové hodnoty, je tedy třeba zjistit, kdy nabývá nulových hodnot výraz \((sgn{(x-2)}+|x-2|)\), jak víme, tak \(sgn(x-2)\) nabývá hodnot \((-1{,}0,1)\), otázkou tedy je, pro která x nabývá \(|x-2|\) hodnot \((-1{,}0,1)\).

hodnoty 0, tento výraz nabývá pro hodnotu 2, v tomto případě je i hodnota funkce sgn nulová a 2 je tedy jedním z hledaných kočenů. Hodnoty 1 nabývá absolutní hodnota pro x rovno jedné a pro tuto hodnotu nabývá funkce sgn -1, což dává dohromady 0 a tedy i 1 je hledaným kořenem. Hodnoty -1 absolutní hodnota nemůže nikdy nabývat, proto tímto směrem není třeba uvažovat.

Je tedy patrné, že body, v nichž je funkce podezřelá z nabývání extrémů jsou \(x=1\) a \(x=2\), neboť:
\[f^{\prime}(1)=e^{1-1}(sgn{(1-2)}+|1-2|)=1\cdot(1-1))=1{\cdot} 0=0\] \[f^{\prime}(2)=e^{2-1}(sgn{(2-2)}+|2-2|)=e^{2}(sgn{(0)}+|0|)=e^2{\cdot} 0=0\]
Nápověda 4.- Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy
Pomocí již známé první derivace a vlastnosti roztu/klesání funkce ve spojitosti právě s její první derivací určete intervaly růstu a klesání, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice lokálního extrému, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z extrémů skutečně extrémy funkce či nikoli.
Nápověda 4.- Řešení - Intervaly růstu a klesání, lokální extrémy
Vzhledem ke skutečnosti, že body podezřelé z extrému jsou \(2\) a \(1\), zkoumané intervaly budou tedy vypadat \((-\infty ,1)\), \((1 ,2)\) a \((2,+\infty)\) a následně ověříme, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu).

Je patrné, že pro \(x \in(-\infty,1)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|)\) nabývá kladných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce roztoucí.

Dále opět dosazením zjišťujeme, že pro \(x \in(1{,}2)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|)\) nabývá záporných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce klesající.

Nakonec tradičním dosazením zjišťujeme, že pro \(x \in(2,+\infty)\) první derivace \(f^{\prime}(x)=e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|)\) nabývá kladných hodnot, z věty o první derivace a monotonii funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce roztoucí.

Nyní víme, že existuje pravé okolí bodu 1, v němž je zkoumaná funkce klesající a levé okolé bodu 1, v němž je zkoumaná funkce roztoucí, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě 1 lokální maximum.

Nyní víme, že existuje pravé okolí bodu 2, v němž je zkoumaná funkce roztoucí a levé okolé bodu 2, v němž je zkoumaná funkce klesající, z čehož a z definice lokálního minima plyne, že má zkoumaná funkce v bodě 2 lokální minimum.
Nápověda 5.- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.
Pomocí známých derivací nebo přímo z definice derivace vypočteme její hodnotu pro zkoumanou funkci ze znalosti derivace první. Následně za pomoci nutné podmínky existence inflexe určíme body podezřelé z inflexe.
Nápověda 5.- Řešení- druhá derivace a body podezřelé z inflexe.
Například pomocí známé derivace obecné mocninné funkce z úlpohy Základní derivace funkcí jedné reálné proměnné vypočítáme derivace zkoumané funkce jako:
\[f^{''}(x)=\left(\left\vert x-2 \right\vert \cdot e^{x-1}\right)^{''}=\left(e^{x-1}(sgn{(x-2)}+|x-2|) \right)^{\prime}=\] \[=e^{x-1}(sgn(x-2)+|x-2|)+e^{x-1}(0+sgn(x-2))=\] \[=e^{x-1}(2sgn(x-2)+|x-2|)\]
Nutnou podmínkou pro existenci inflexnho bodu je, že existuje-li druhá derivace v tomto bodě, pak je její hodnota 0, hledáme tedy takové body/taková x, v nichž druhá derivace nabývá nulové hodnoty nebo body, v nichž neexistuje.

Hledejme tedy kořeny rovnice:
\[0=e^{x-1}(2sgn(x-2)+|x-2|)\]
Protože \(e^{x-1}\) je pro všechna x nenulová a tedy hledáme taková x, pro která nuly nabývá výraz \(2sgn(x-2)+|x-2|\). Výraz \(2sgn(x-2)\) nabývá pouze hodnot \((-2{,}0,2)\) Na první pohled je patrné, že jedním z kořenů rovnice je 2, kdy bude nulová jak hodnota \(2sgn(x-2)\), tak i hodnota výrazu \(|x-2|\). Dva je tedy bodem podezřelým z inflexe

Dále výraz \(|x-2|\) nabývá hodnoty 2 pro x rovno 0, v tomto případě ale výraz \(2sgn(x-2)\) nabývá hodnoty -2 a tedy i 0 je podezřelá z inflexe, hodnoty -2 výraz \(|x-2|\) nenabývá nikdy a tedy je zbytečné tímto směrem uvažovat.
Nápověda 6. - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body
Pomocí již známé druhé derivace a vlastnosti konvexity/konkávnosti funkce ve spojitosti právě s druhou derivací určete intervaly konvexity/konkávnosti, jakmile tyto intervaly budou určeny, budete schopni rozhodnout z definice inflexního bodu, zdali jsou námi zjištěné body podezřelé z inflexe skutečně inflexními body funkce či nikoli.
Nápověda 6. - Řešení - konvexita/konkávnost zkoumané funkce a inflexní body
Vzhledem ke skutečnosti, že body podezřelé z inflexe jsou v x rovno 0 a 2 , zkoumané intervaly budou tedy vypadat \((-\infty ,0)\), \((0 ,2)\) a \((2,+\infty)\) Ověříme tedy, jakých hodnot na něm funkce nabývá(což provedeme metodou dosazení vnitřního bodu intervalu). .

Je patrné, že pro \(x \in (-\infty ,0)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=e^{x-1}(2sgn(x-2)+|x-2|)\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

Je patrné, že pro \(x \in (0{,}2)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=e^{x-1}(2sgn(x-2)+|x-2|)\) nabývá záporných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konkávní.

Je patrné, že pro \(x \in (0,+\infty)\) druhá derivace \(f^{''}(x)=e^{x-1}(2sgn(x-2)+|x-2|)\) nabývá kladných hodnot, z věty o druhé derivace a konvexitě/konkávnosti funkce plyne, že na tomto intervalu je zkoumaná funkce konvexní.

Nyní víme, že existuje pravé okolí bodu \(0\), v němž je zkoumaná funkce konkávní a levé okolí bodu \(0\), v němž je zkoumaná funkce konvexní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(0\) inflexi.

Dále víme, že existuje pravé okolí bodu \(2\), v němž je zkoumaná funkce konvexní a levé okolí bodu \(2\), v němž je zkoumaná funkce konkávní, z čehož a z definice inflexního bodu plyne, že má zkoumaná funkce v bodě \(2\) inflexi.
Nápověda 7.- Asymptoty
Z definice asymptoty a věty pro její určení určete rovnice obou těchto přímek.
Nápověda 7.- Řešení - Asymptoty
Víme, že pokud má funkce asymptoty, pak koeficienty a, b rovnice této přímky \(y=ax+b\) získáme jako(přičemž a, b jsou konečná reálná čísla):
\[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to +\infty}f(x)-ax\]
pro asymptotu v plus nekonečnu
\[a=\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}\] \[b=\lim_{x \to -\infty}f(x)-ax\]
pro asymptotu v minus nekonečnu

Nejprve určíme asymptotu v plus nekonečnu:

Pro koeficient a tedy po dosazení do limity získáváme:
\[a=\lim_{x \to +\infty}\frac{|x-2| \cdot e^{x-1}}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{(x-2) \cdot e^{x-1}}{x}=\]
odstranili jsme absolutní hodnotu, neboť pro velká x jí není třeba

využijeme známých limit z Přehledem používaných limit posloupností
\[=\lim_{x \to +\infty}\frac{(x-2) \cdot e^{x-1}}{x}=+\infty\]
protože koeficient a není konečné reální číslo, pak v plus nekonečnu tato funkce asymptotu nemá.

Poté určíme asymptotu v minus nekonečnu:

Pro koeficient a tedy po dosazení do limity získáváme:
\[a=\lim_{x \to -\infty}\frac{|x-2| \cdot e^{x-1}}{x}=\]
odstraníme absolutní hodnotu pro x jdoucí k minus nekonečnu a uvědomíme si, jak pro taková x vypadá exponenciální funkce a následně limitu přepíšeme jako:
\[\lim_{x \to -\infty}\frac{(2-x)}{x\cdot e^{x-1}}=0\]
nyní dopočteme koeficient b:
\[b=\lim_{x \to -\infty}f(x)-ax=\lim_{x \to -\infty}|x-2|\cdot e^{x-1}-0\cdot x=\] \[=\lim_{x \to +\infty_{-}}\frac{x-2}{e^{x-1}}=\]
využijeme známých limit z úlohy Přehledem používaných limit posloupností a obdržíme tak výsledek:
\[b=0\]
asympta zkoumané funkce v minus nekonečnu bude tedy mít rovnici:
\[y=0\]
Nápověda 8.- Dopočtení důležitých hodnot
Vypočítejte, jakých hodnot zkoumaná funkce nabývá ve svých případných průsečících s osami, extrémech, bodech nespojitosti a inflexních bodech
Nápověda 8.- Řešení - Dopočtení důležitých hodnot
Nyní prostým dosazením do \(f(x)=|x-2| \cdot e^{x-1}\) dopočteme zmíněné, pro graf podstatné, hodnoty.

Průsečík s osou y tak, že za x dosadíme 0:
\[f(0)=|0-2| \cdot e^{0-1}=\frac{2}{e}\]
Průsečíkem s osou y tedy bude bod \([0,\frac{2}{e}]\)

Průsečíky z osou x zjistíme tak, že 0 dosadíme za y:
\[0=|x-2| \cdot e^{x-1}\]
z čehož plyne, že tímto průsečíkem je bod [2,0].

Body nespojitosti nebyly zjištěny.

Funkce nabývá extrému a to v 1 a 2, kde hodnota funkce v těchto bodech je:
\[f(1)=|1-2| \cdot e^{1-1}=1\] \[f(2)=|2-2| \cdot e^{2-1}=0\]
Zkoumaná funkce má inflexní bod v 0 a 2, kde jsme již hodnoty dopočítali.
Nápověda 9. - Graf
Ze získaných údajů sestrojte co nejpřesnější graf zkoumané funkce.
Nápověda 10.- Řešení - Graf
Graf - Podrobný (pro kontrolu)

Světle modře je znázorněna derivace první, tmavě modře pak derivace druhá, červeně asymptota v minus nekonečnu, body E a C jsou lokálními extrémy(D lokální maximum a C lokální a zároveň i globální minimum) a body D a C inflexními body.