Bolzano-Weierstrassova věta
Úloha číslo: 1354
Dokažte, že z každé omezené posloupnosti reálných čísel lze vybrat podposloupnost, která je konvergentní.
Řešení
Jestliže posloupnost {xn} je omezená, potom existuje číslo K tak, že
\[-K \leq x_n \leq K.\]Všechny prvky posloupnosti {xn} tedy leží v intervalu I1 = [–K, K].
Rozpůlme tento interval na dva stejné délky, [–K, 0] a [0, K]. Potom alespoň v jednom z těchto intervalů musí ležet nekonečně mnoho členů této posloupnosti. Tento interval si vybereme jako interval I2. Pokud nekonečně mnoho členů posloupnosti leží v obou těchto intervalech, můžeme jako interval I2 vybrat libovolný z nich.
Nyní konstruujeme induktivně interval In zcela stejným způsobem, předcházející interval In–1 rozpůlíme a jako In vybereme ten, kde zbyde nekonečně mnoho členů posloupnosti {xn}.
Označme nyní jako posloupnost {an} posloupnost levých krajních bodů intervalů In a jako posloupnost {bn} posloupnost pravých krajních bodů intervalů In. Posloupnost {an} je pak neklesající a shora omezená číslem K, neboť v závislosti na tom, který interval vybereme v dalším kroku, je levý bod tohoto intervalu buď stejný jako předchozího a nebo větší. Posloupnost {bn} je z obdobného důvodu nerostoucí a zdola omezená číslem –K.
Protože každá neklesající shora omezená posloupnost má vlastní limitu a totéž platí pro každou nerostoucí zdola omezenou posloupnost (viz úlohu Věta o existenci limity monotónní posloupnosti), mají vlastní limitu obě posloupnosti {an} i {bn}.
Přitom si ale uvědomme, že délka intervalu In je v každém kroku poloviční, přesně
\[b_n-a_n = 2K\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1},\]a tudíž
\[\lim b_n - \lim a_n = \lim(b_n-a_n) = \lim 2K\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0\]kde první rovnost platí podle věty o aritmetice limit, protože levá strana má smysl, neboť existenci obou vlastních limit jsme dokázali výše, a pravá strana je nulová podle úlohy Limita geometrické posloupnosti. Máme tedy
\[\lim a_n = \lim b_n.\]Protože každý interval In obsahuje nekonečně bodů posloupnosti {xn}, vybereme novou posloupnost {yn} tak, že yn je rovna nějakému prvku posloupnosti {xn} s indexem větším než odpovídá prvku yn–1, který náleží do intervalu In. Takový musí existovat právě proto, že prvků posloupnosti {xn} je v intervalu In nekonečně mnoho.
Potom ale máme, že
\[a_n\leq y_n\leq b_n,\]a protože výše jsme odvodili, že
\[\lim a_n = \lim b_n\](a tyto limity jsou vlastní), pak podle části (a) úlohy Věta o dvou policajtech existuje také vlastní limita posloupnosti {yn} a platí, že
\[\lim y_n = \lim a_n = \lim b_n.\]
