Sbírka řešených úloh

Limity s nekonečnými součty poprvé

Úloha číslo: 1174

• Rozbor

  Ve všech počítaných limitách je problémem výskyt součtu s proměnlivým počtem členů (závislým na n), protože pak nelze přímo použít větu o aritmetice limit.

  Před začátkem výpočtu limity je tedy nezbytně nutné najít výraz, kterým lze potenciálně nekonečné součty nahradit.

• 1) Nápověda

  \({1+2+\cdots+n}\) sečtěte a dosaďte do limity.

• Nápověda 1. - řešení

  Řadu \({1+2+\cdots+n}\) sečteme podle \(\sum_{i=r}^n {\binom{i}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\), kde hledané r je 1 na výraz:

  \[{1+2+\cdots+n}=\sum_{i=1}^n {\binom{i}{1}}=\dbinom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\]

  Který dosadíme do počítané limity \(\lim_{n \to \infty}{\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}}\):

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\lim_{n \to \infty}{\frac{n(n+1)}{2\cdot n^2}}}\]

  Kterou již snadno dopočteme.

• 1) Řešení

  Řadu \({1+2+\cdots+n}\) sečteme podle \(\sum_{i=r}^n {\binom{i}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\), kde hledané r je 1 na výraz:

  \[{1+2+\cdots+n}=\sum_{i=1}^n {\binom{i}{1}}=\dbinom{n+1}{2}=\frac{n(n+1)}{2}\]

  Který dosadíme do počítané limity \(\lim_{n \to \infty}{\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}}\):

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{1+2+\cdots+n}{n^2}=\lim_{n \to \infty}{\frac{n(n+1)}{2\cdot n^2}}}\]

  Kterou již snadno dopočteme za pomoci metody vytknutípřevládajícího členu tak, že z výrazu ve jmenovateli i čitateli vytkneme \(n^2\)

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{n(n+1)}{2\cdot n^2}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{n^2\cdot(1+\frac{1}{n})}{n^2{\cdot} 2}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{(1+\frac{1}{n})}{2}}\]

  Což již snadno dopočteme za užití aritmetiky limit součtu(v čitateli) a podílu(čitatel se jmenovatelem) jako:

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{(1+\frac{1}{n})}{2}}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}\]

• 2) Nápověda

  \({1^2+2^2+\cdots+n^2}\) sečtěte a dosaďte do limity.

• 2) Nápověda - řešení

  Řadu \({1^2+2^2+\cdots+n^2}\)rozepíšeme jako součet \(\sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i}\) a obě sumy sečteme podle \(\sum_{i=r}^n {\binom{n}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\), kde hledané r pro první sumu je rovno 2 a hledané r pro druhou sumu rovno 1 na výraz:

  \[{1^2+2^2+\cdots+n^2}= \] \[=\frac {2!}{2!} \sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\frac{1!}{1!}\sum_{i=1}^n {i}=2! \dbinom{n+1}{3}+1! \dbinom{n+1}{2}=\]

  \[=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3} + \frac{n(n+1)}{2} =\frac{(n+1)(n)(2n+1)}{6}\]

  Který dosadíme do počítané limity

  \[\lim_{n \to \infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{\frac{n^5}{(1+n)^2}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{\frac{(n+1)(n)(2n+1)}{6}}{\frac{n^5}{(1+n)^2}}}=\] \[ = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)(n)(2n+1)(1+n)^2}{6\cdot n^5},\]

  kterou již snadno dopočteme.

• 2) Řešení

  Řadu \({1^2+2^2+\cdots+n^2}\)rozepíšeme jako součet \(\sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\sum_{i=1}^n {i}\) a obě sumy sečteme podle \(\sum_{i=r}^n {\binom{n}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\), kde hledané r pro první sumu je rovno 2 a hledané r pro druhou sumu rovno 1 na výraz:

  \[{1^2+2^2+\cdots+n^2}=\frac {2!}{2!} \sum_{i=2}^n {(i)(i-1)}+\frac{1!}{1!}\sum_{i=1}^n {i}=\] \[ = 2! \dbinom{n+1}{3}+1! \dbinom{n+1}{2}=\]

  \[=\frac{(n+1)(n)(n-1)}{3}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n)(2n+1)}{6}\]

  Tento výraz dosadíme do počítané limity a dostaneme

  \[\lim_{n \to \infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{\frac{n^5}{(1+n)^2}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{\frac{(n+1)(n)(2n+1)}{6}}{\frac{n^5}{(1+n)^2}}}=\] \[ = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)(n)(2n+1)(1+n)^2}{6\cdot n^5}\]

  Výslednou limitu dopočteme za pomoci metody vytknutí převládajícího členu tak, že z výrazu v čitateli vytkneme \(n^5\)

  \[\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)(n)(2n+1)(1+n)^2}{6\cdot n^5}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^5\cdot(2+\frac{7}{n}+\frac{9}{n^2}+\frac{5}{n^3}+\frac{1}{n^4})}{6n^5}\]

  Zkrácením \(n^5\) a použitím aritmetiky limit součtu a podílu dostaneme

  \[\lim_{n \to \infty}\frac{2+\frac{7}{n}+\frac{9}{n^2}+\frac{5}{n^3}+\frac{1}{n^4}}{6}=\frac{2+0+0+0+0}{6}=\frac{1}{3}\]

• 3) Nápověda

  \({1^3+2^3+\cdots+n^3}\) sečtěte a dosaďte do limity.

• 3) Nápověda - řešení

  Řadu \({1^3+2^3+\cdots+n^3}\) rozepíšeme na součet sum \(\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+3\sum_{i=1}^n {i}\), který sečteme podle \(\sum_{i=r}^n {\binom{i}{r}} = {\binom{n+1}{r+1}}\), kde hledané r pro první sumu je 3, pro druhou 2 a pro třetí 1 a vhodně rozšíříme na výraz:

  \[{1^3+2^3+\cdots+n^3}=\] \[ = \frac {3!}{3!}\sum_{i=3}^n {(i)(i-1)(i-2)}+\frac{2!}{2!} 3\sum_{i=2}^n {i(i-1)}+\frac{1!}{1!} 3\sum_{i=1}^n {i}=\] \[=3!\dbinom{n+1}{4}+2!\cdot 3\dbinom{n+1}{3}+1!\cdot 3\dbinom{n+1}{2}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\]

  Výsledek dosadíme do počítané limity a upravíme

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{(1^3+2^3+\cdots+n^3)^2}{n^8}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{\left (\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right )^2}{n^8}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{n^4(n+1)^4}{16n^8}}.\]

  Výslednou limitu již snadno dopočteme.

• 3) Řešení

  Řadu \({1^3+2^3+\cdots+n^3}\) sečteme dle řešení předchozí nápovědy

  \[{1^3+2^3+\cdots+n^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.\]

  Tento výraz dosadíme do počítané limity a upravíme na tvar

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{(1^3+2^3+\cdots+n^3)^2}{n^8}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{\left (\frac{n^2(n+1)^2}{4}\right )^2}{n^8}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{n^4(n+1)^4}{16n^8}}.\]

  Výslednou limitu dopočteme za pomoci metody vytknutí převládajícího členu tak, že ze druhého činitele v čitateli vytkneme \(n^4\)

  \[\lim_{n \to \infty}{\frac{n^4(n+1)^4}{16n^8}} = \lim_{n \to \infty}{\frac{n^8(1+1/n)^4}{16n^8}} = \]

  a po zkrácení použitím věty o aritmetice limit dostaneme

  \[ = \lim_{n \to \infty}{\frac{(1+1/n)^4}{16}} = \frac{(1+0)^4}{16} = \frac{1}{16}.\]