Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Substituce

Úloha číslo: 1496

Určete pomocí substituce

\[\int\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}dx\]
  • Motivace

    Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.

    Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.

    Věta o substituci

    Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)

    \[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]

    Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.

    Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho „oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.

  • Vhodná substituce

    Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.

    Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.

  • Integrace

    Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.

  • Řešení

    Nejprve se zaměříme na hledání vhodné substituce.

    Co se mi postupem času osvědčilo při používání substituce, bylo, v případě lomených funkcí, hledat substituovanou funkci ve jmenovateli zlomku a její derivaci pak následně v čitateli.

    Stejně tak tomu je i v případě této úlohy. Volíme-li \(y=x^3-x^2+x-1\), pak zkusmou derivací \(y\) dle proměnné \(x\) obdržíme

    \[dy=(3x^2-2x+1)dx\]

    Jak vidíme, je \(dy\) právě exaktní podobou výrazu v čitateli integrované funkce. Čímž ověřujeme, že námi zvolená substituce je v daném případě správná.

    Již tedy máme připravenou substituci

    \[y=x^3-x^2+x-1\] \[dy=(3x^2-2x+1)dx\]

    po dosazení do původní úlohy

    \[I=\int\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}dx\]

    získáváme

    \[I=\int\frac{dy}{y}\]

    což je tabulkový integrál, řešitelný jako

    \[=\ln{|y|}+c\]

    nakonec po následné zpětné substituci získáváme

    \[=\ln{|x^3-x^2+x-1|}+c\]

    což je i hledaným řešením původní úlohy

  • Výsledek

    \[I=\ln{(x^3-x^2+x-1)}+c\]
  • Další úloha v sérii

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze