Substituce
Úloha číslo: 1496
Určete pomocí substituce
\[\int\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}dx\]Motivace
Existuje celá řada metod pro řešení integrálů. Jednou z nich je právě substituční metoda. Její síla spočívá v mnohdy poměrně snadné aplikaci. Řada, na půdě škol řešených integrálů, navíc vede právě na řešení touto metodou.
Následující věta v kostce shrnuje základní princip metody.
Věta o substituci
Mějme funkci \(f\) definovanou na intervalu \(I \in \mathbb{R}\), mající na témže intervalu primitivní funkci \(F\). Dále mějme funkci \(g\) zobrazující interval \(J \in \mathbb{R}\) na interval \(I\), která je spojitě derivovatelná na intervalu \(J\). Pak \(F(g)\) je primitivní funkce k funkci \(f(g)g\prime\) na intervalu \(J\)
\[\int f(g(x))g\prime(x)dx=\int f(y)dy\,\,\bigg|_{y=g(x)}\]Lidský překlad věty říká, že vidíme-li v integrovaném výrazu funkci ve vhodné konstalaci s její derivací, pak jsou nám vrátka k substituci příznivě pootevřena. Často stačí jen provést několik kosmetických úprav a následnou substitucí integrál převádíme na tabulkový případ.
Pozornému oku neunikne, že skutečný potenciál této metody dlí v počtářově zkušenosti s derivováním a v jeho „oku“ na vnímání kombinací funkce se svou derivací.
Vhodná substituce
Pozorně si prohlédněte integrovanou funkci. Pokuste se nalézt vhodnou kombinaci funkce, za niž budete substituovat s její derivací.
Nevidíte-li nic na první pohled, pokuste se problém vyřešit zkusmým derivováním - metodou pokus, omyl.
Integrace
Pomocí zvolené substituce převeďte úlohu na tabulkový případ, integrál vyřešte a následnou zpětnou substitucí určete konečnou podobu řešení.
Řešení
Nejprve se zaměříme na hledání vhodné substituce.
Co se mi postupem času osvědčilo při používání substituce, bylo, v případě lomených funkcí, hledat substituovanou funkci ve jmenovateli zlomku a její derivaci pak následně v čitateli.
Stejně tak tomu je i v případě této úlohy. Volíme-li \(y=x^3-x^2+x-1\), pak zkusmou derivací \(y\) dle proměnné \(x\) obdržíme
\[dy=(3x^2-2x+1)dx\]Jak vidíme, je \(dy\) právě exaktní podobou výrazu v čitateli integrované funkce. Čímž ověřujeme, že námi zvolená substituce je v daném případě správná.
Již tedy máme připravenou substituci
\[y=x^3-x^2+x-1\] \[dy=(3x^2-2x+1)dx\]po dosazení do původní úlohy
\[I=\int\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1}dx\]získáváme
\[I=\int\frac{dy}{y}\]což je tabulkový integrál, řešitelný jako
\[=\ln{|y|}+c\]nakonec po následné zpětné substituci získáváme
\[=\ln{|x^3-x^2+x-1|}+c\]což je i hledaným řešením původní úlohy
Výsledek
\[I=\ln{(x^3-x^2+x-1)}+c\]Další úloha v sérii
