Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty IV
Úloha číslo: 815
Určete následující limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}}.\]Komentář k úloze
Větu o aritmetice limit nelze použít přímo, neboť bychom dostali
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}} = \] \[ = \ \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} (2+\frac{1}{n})^{100}-\lim\limits_{\small n\to\infty} (4-\frac{3}{n})^{50}}{\lim\limits_{\small n\to\infty} (8-\frac{1}{n})^{34}-\lim\limits_{\small n\to\infty} (4+\frac{1}{n})^{51}}= \] \[ = \ \frac{2^{100}-4^{50}}{8^{34}-4^{51}}= \] \[ = \ \frac{0}{2^{102}-2^{102}}= \frac{0}{0},\]přičemž pravá strana nemá smysl.
Řešení
Určujeme limitu
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}}.\]Čitatel upravíme pomocí binomické věty na tvar
\[\left(2+\frac{1}{n}\right)^{100}-\left(4-\frac{3}{n}\right)^{50} = \] \[ = \left( 2^{100}+100{\cdot} 2^{99}\cdot \frac{1}{n} + V(n)\right) - \left(4^{50} - 50{\cdot} 4^{49}\cdot \frac{3}{n} + W(n)\right) = \] \[ = \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{n} + V(n)-W(n),\]kde V(n) a W(n) jsou funkce tvaru
\[V(n) = \frac{v_2}{n^2}+\cdots+\frac{v_{100}}{n^{100}},\] \[W(n) = \frac{w_2}{n^2}+\cdots+\frac{w_{50}}{n^{50}},\]přičemž v2, ..., v100, w2, ..., w50 jsou reálná čísla, která pro výpočet limity nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Podobně jmenovatel upravíme pomocí binomické věty na tvar
\[\left(8-\frac{1}{n}\right)^{34}-\left(4+\frac{1}{n}\right)^{51} = \] \[ = \left( 8^{34}-34{\cdot} 8^{33}\cdot\frac{1}{n} + Y(n)\right) - \left(4^{51} - 51{\cdot} 4^{50}\cdot \frac{1}{n} + Z(n)\right) = \] \[ = \frac{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}}{n} + Y(n)-Z(n),\]kde Y(n) a Z(n) jsou funkce tvaru
\[Y(n) = \frac{y_2}{n^2}+\cdots+\frac{y_{34}}{n^{34}},\] \[Z(n) = \frac{z_2}{n^2}+\cdots+\frac{z_{51}}{n^{51}},\]přičemž y2, ..., y34, z2, ..., z51 jsou reálná čísla, která pro výpočet limity opět nepotřebujeme přesně vyčíslit.
Přepsáním zlomku v limitě podle výše uvedených vztahů dostaneme
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{\frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{n} + V(n)-W(n)}{\frac{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}}{n} + Y(n)-Z(n)} = \]a po rozšíření čitatele i jmenovatele přenásobením n získáme
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49} + nV(n)-nW(n)}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50} + nY(n)-nZ(n)} = \]odkud již pomocí věty o aritmetice limit dostaneme
\[ = \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} (100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}) + \lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n)-\lim\limits_{\small n\to\infty} nW(n)}{\lim\limits_{\small n\to\infty} (-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}) + \lim\limits_{\small n\to\infty} nY(n)-\lim\limits_{\small n\to\infty} nZ(n)} = \] \[ = \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49} + 0-0}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}+0-0} = \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}} = \] \[= \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 2^{98}}{-34{\cdot} 2^{99}-51{\cdot} 2^{100}} = \frac{2^{98}}{2^{99}}\cdot \frac{200+150}{-34-102}=-\frac{175}{136}\]Zbývá pouze ukázat, že limity
\[\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nW(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nY(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nZ(n)\]jsou opravdu nulové. Např. pro první z nich je podle věty o aritmetice limit
\[\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n) = \lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\frac{v_2}{n} + \cdots + \frac{v_{100}}{n^{99}}\right) = 0 + \cdots + 0 = 0,\]neboť sčítanců je pevný počet (98) a pravá strana má smysl, tudíž větu o aritmetice limit lze použít. Zcela analogicky se dokáže nulovost zbývajících tří limit.
