Sbírka řešených úloh

Limita racionální posloupnosti a použití binomické věty IV

Úloha číslo: 815

• Komentář k úloze

  Větu o aritmetice limit nelze použít přímo, neboť bychom dostali

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}} =$$ $$= \ \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} (2+\frac{1}{n})^{100}-\lim\limits_{\small n\to\infty} (4-\frac{3}{n})^{50}}{\lim\limits_{\small n\to\infty} (8-\frac{1}{n})^{34}-\lim\limits_{\small n\to\infty} (4+\frac{1}{n})^{51}}=$$ $$= \ \frac{2^{100}-4^{50}}{8^{34}-4^{51}}=$$ $$= \ \frac{0}{2^{102}-2^{102}}= \frac{0}{0},$$

  přičemž pravá strana nemá smysl.

• Řešení

  Určujeme limitu

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}}.$$

  Čitatel upravíme pomocí binomické věty na tvar

  $$\left(2+\frac{1}{n}\right)^{100}-\left(4-\frac{3}{n}\right)^{50} =$$ $$= \left( 2^{100}+100{\cdot} 2^{99}\cdot \frac{1}{n} + V(n)\right) - \left(4^{50} - 50{\cdot} 4^{49}\cdot \frac{3}{n} + W(n)\right) =$$ $$= \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{n} + V(n)-W(n),$$

  kde V(n) a W(n) jsou funkce tvaru

  $$V(n) = \frac{v_2}{n^2}+\cdots+\frac{v_{100}}{n^{100}},$$ $$W(n) = \frac{w_2}{n^2}+\cdots+\frac{w_{50}}{n^{50}},$$

  přičemž v₂, ..., v₁₀₀, w₂, ..., w₅₀ jsou reálná čísla, která pro výpočet limity nepotřebujeme přesně vyčíslit.

  Podobně jmenovatel upravíme pomocí binomické věty na tvar

  $$\left(8-\frac{1}{n}\right)^{34}-\left(4+\frac{1}{n}\right)^{51} =$$ $$= \left( 8^{34}-34{\cdot} 8^{33}\cdot\frac{1}{n} + Y(n)\right) - \left(4^{51} - 51{\cdot} 4^{50}\cdot \frac{1}{n} + Z(n)\right) =$$ $$= \frac{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}}{n} + Y(n)-Z(n),$$

  kde Y(n) a Z(n) jsou funkce tvaru

  $$Y(n) = \frac{y_2}{n^2}+\cdots+\frac{y_{34}}{n^{34}},$$ $$Z(n) = \frac{z_2}{n^2}+\cdots+\frac{z_{51}}{n^{51}},$$

  přičemž y₂, ..., y₃₄, z₂, ..., z₅₁ jsou reálná čísla, která pro výpočet limity opět nepotřebujeme přesně vyčíslit.

  Přepsáním zlomku v limitě podle výše uvedených vztahů dostaneme

  $$\lim_{\small n\to\infty} \ \frac{(2+\frac{1}{n})^{100}-(4-\frac{3}{n})^{50}}{(8-\frac{1}{n})^{34}-(4+\frac{1}{n})^{51}} =$$ $$= \lim_{\small n\to\infty} \frac{\frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{n} + V(n)-W(n)}{\frac{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}}{n} + Y(n)-Z(n)} =$$

  a po rozšíření čitatele i jmenovatele přenásobením n získáme

  $$= \lim_{\small n\to\infty} \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49} + nV(n)-nW(n)}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50} + nY(n)-nZ(n)} =$$

  odkud již pomocí věty o aritmetice limit dostaneme

  $$= \frac{\lim\limits_{\small n\to\infty} (100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}) + \lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n)-\lim\limits_{\small n\to\infty} nW(n)}{\lim\limits_{\small n\to\infty} (-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}) + \lim\limits_{\small n\to\infty} nY(n)-\lim\limits_{\small n\to\infty} nZ(n)} =$$ $$= \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49} + 0-0}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}+0-0} = \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 4^{49}}{-34{\cdot} 8^{33}-51{\cdot} 4^{50}} =$$ $$= \frac{100{\cdot} 2^{99}+150{\cdot} 2^{98}}{-34{\cdot} 2^{99}-51{\cdot} 2^{100}} = \frac{2^{98}}{2^{99}}\cdot \frac{200+150}{-34-102}=-\frac{175}{136}$$

  Zbývá pouze ukázat, že limity

  $$\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nW(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nY(n), \ \lim\limits_{\small n\to\infty} nZ(n)$$

  jsou opravdu nulové. Např. pro první z nich je podle věty o aritmetice limit

  $$\lim\limits_{\small n\to\infty} nV(n) = \lim\limits_{\small n\to\infty} \left(\frac{v_2}{n} + \cdots + \frac{v_{100}}{n^{99}}\right) = 0 + \cdots + 0 = 0,$$

  neboť sčítanců je pevný počet (98) a pravá strana má smysl, tudíž větu o aritmetice limit lze použít. Zcela analogicky se dokáže nulovost zbývajících tří limit.