Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti a absolutní hodnota

Úloha číslo: 810

Dokažte následující tvrzení.

(a) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L,\] kde L je libovolné reálné číslo, potom

\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\]

(b) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\] potom

\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]

(c) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty,\] potom

\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]

Poznámka: Pokud definujeme |+∞| = +∞ a |–∞| = +∞, potom lze psát jednoduše

\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L \ \Longrightarrow \ \lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\]
  • Nápověda k části (a)

    Dokažte, že pro všechna reálná čísla a, b platí nerovnost

    \[\big|\left|a\right|-\left|b\right|\big| \leq \left|a-b\right|.\]
  • Řešení části (a)

    Dokazujeme následující tvrzení.

    Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L,\] kde L je libovolné reálné číslo, potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\]

    Důkaz provedeme z definice limity. Volíme tedy libovolné ε > 0 a snažíme se najít N přirozené takové, aby pro každé n přirozené a větší než N platilo

    \[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| < \varepsilon.\]

    K tomu využijeme předpoklad

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L.\]

    Z něj vyplývá, že pro zvolené ε > 0 existuje N′ přirozené takové, že pro každé n přirozené a větší než N′ platí

    \[\big|a_n-L\big| < \varepsilon.\]

    Z nápovědy ovšem víme, že

    \[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| \leq \left|a_n-L\right|,\]

    a tudíž pro všechna n > N′ máme

    \[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| \leq \left|a_n-L\right| < \varepsilon.\]

    Stačí tedy položit N = N′.

  • Řešení části (b)

    Dokazujeme tvrzení:

    Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\] potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]

    Budeme postupovat z definice nevlastní limity. Snažíme se tedy ukázat, že pro libovolně zvolené K existuje N přirozené tak, že pro každé n přirozené větší než N platí

    \[|a_n| > K.\]

    K tomu využijeme předpoklad

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty.\]

    Z toho vyplývá, že pro zvolené K existuje N′ takové, že pro každé n přirozené větší než N′ platí

    \[a_n > K.\]

    A protože

    \[|a_n| \geq a_n,\]

    stačí položit N = N′. Pak totiž máme pro každé n přirozené větší než N (tj. i větší než N′)

    \[|a_n| \geq a_n > K,\]

    což jsme chtěli ukázat.

  • Řešení části (c)

    Dokazujeme tvrzení.

    Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty,\] potom

    \[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]

    Budeme postupovat z definice nevlastní limity. Snažíme se tedy ukázat, že pro libovolně zvolené K existuje N přirozené tak, že pro každé n přirozené větší než N platí

    \[|a_n| > K.\]

    K tomu využijeme předpoklad

    \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty.\]

    Z toho vyplývá, že pro zvolené K existuje N′ takové, že pro každé n přirozené větší než N′ platí

    \[a_n < -K,\]

    což je ekvivalentní nerovnosti

    \[-a_n > K.\]

    A protože

    \[|a_n| \geq -a_n,\]

    stačí položit N = N′. Pak totiž máme pro každé n přirozené větší než N (tj. i větší než N′)

    \[|a_n| \geq -a_n > K,\]

    což jsme chtěli ukázat.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze