Limita posloupnosti a absolutní hodnota
Úloha číslo: 810
Dokažte následující tvrzení.
(a) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L,\] kde L je libovolné reálné číslo, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\](b) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\] potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\](c) Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty,\] potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]Poznámka: Pokud definujeme |+∞| = +∞ a |–∞| = +∞, potom lze psát jednoduše
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L \ \Longrightarrow \ \lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\]Nápověda k části (a)
Dokažte, že pro všechna reálná čísla a, b platí nerovnost
\[\big|\left|a\right|-\left|b\right|\big| \leq \left|a-b\right|.\]Řešení části (a)
Dokazujeme následující tvrzení.
Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L,\] kde L je libovolné reálné číslo, potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = |L|.\]Důkaz provedeme z definice limity. Volíme tedy libovolné ε > 0 a snažíme se najít N přirozené takové, aby pro každé n přirozené a větší než N platilo
\[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| < \varepsilon.\]K tomu využijeme předpoklad
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = L.\]Z něj vyplývá, že pro zvolené ε > 0 existuje N′ přirozené takové, že pro každé n přirozené a větší než N′ platí
\[\big|a_n-L\big| < \varepsilon.\]Z nápovědy ovšem víme, že
\[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| \leq \left|a_n-L\right|,\]a tudíž pro všechna n > N′ máme
\[\big|\left|a_n\right|-\left|L\right|\big| \leq \left|a_n-L\right| < \varepsilon.\]Stačí tedy položit N = N′.
Řešení části (b)
Dokazujeme tvrzení:
Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty,\] potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]Budeme postupovat z definice nevlastní limity. Snažíme se tedy ukázat, že pro libovolně zvolené K existuje N přirozené tak, že pro každé n přirozené větší než N platí
\[|a_n| > K.\]K tomu využijeme předpoklad
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = +\infty.\]Z toho vyplývá, že pro zvolené K existuje N′ takové, že pro každé n přirozené větší než N′ platí
\[a_n > K.\]A protože
\[|a_n| \geq a_n,\]stačí položit N = N′. Pak totiž máme pro každé n přirozené větší než N (tj. i větší než N′)
\[|a_n| \geq a_n > K,\]což jsme chtěli ukázat.
Řešení části (c)
Dokazujeme tvrzení.
Pokud \[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty,\] potom
\[\lim_{\small n\to\infty} |a_n| = +\infty.\]Budeme postupovat z definice nevlastní limity. Snažíme se tedy ukázat, že pro libovolně zvolené K existuje N přirozené tak, že pro každé n přirozené větší než N platí
\[|a_n| > K.\]K tomu využijeme předpoklad
\[\lim_{\small n\to\infty} a_n = -\infty.\]Z toho vyplývá, že pro zvolené K existuje N′ takové, že pro každé n přirozené větší než N′ platí
\[a_n < -K,\]což je ekvivalentní nerovnosti
\[-a_n > K.\]A protože
\[|a_n| \geq -a_n,\]stačí položit N = N′. Pak totiž máme pro každé n přirozené větší než N (tj. i větší než N′)
\[|a_n| \geq -a_n > K,\]což jsme chtěli ukázat.
