Limita posloupnosti - komplexní úloha VIII
Úloha číslo: 860
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right],\]kde [·] značí funkci nazývanou celá část definovanou pro všechna reálná čísla tak, že [x] je nejvyšší celé číslo menší nebo rovné x. Například [2] = 2, [–1] = –1, [1,3] = 1, [1,7] = 1 a [–1,3] = –2 (protože –2 je nejvyšší celé číslo menší než –1,3).
Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right],\]kde symbol [...] nejsou pouze závorky, ale značí speciální funkci celá část popsanou v zadání úlohy.
Nejprve se zaměříme na vnitřek této funkce.
Ze vztahu
\[A^4-B^4 = (A-B)(A^3+A^2B+AB^2+B^3)\]plyne, že
\[A-B = \frac{A^4-B^4}{A^3+A^2B+AB^2+B^3}.\]Pokud položíme
\[A = \sqrt[4]{n^4+4n^3}, \qquad B = n,\]dostáváme identitu
\[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n = \] \[ = \frac{n^4+4n^3-n^4}{\sqrt[4]{(n^4+4n^3)^3}+\sqrt[4]{(n^4+4n^3)^2}\cdot n+\sqrt[4]{n^4+4n^3}\cdot n^2+n^3} = \]kterou lze upravit na tvar
\[ = \frac{4n^3}{n^3\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+n^3\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+n^3\sqrt[4]{1+4/n}+n^3} = \] \[ = \frac{4}{\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1}.\]Uvědomme si nyní, že podle úlohy Limita pod odmocninou I a věty o aritmetice limit platí, že
\[\lim \sqrt[4]{(1+4/n)^3} = 1, \quad \lim \sqrt[4]{(1+4/n)^2} = 1, \quad \lim \sqrt[4]{(1+4/n)^1} = 1,\]a tudíž
\[\lim \left(\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1\right) = 1+1+1+1 = 4.\]Z toho podle definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého členu počínaje je
\[\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1 < 5.\]Zároveň si všimněme, že pro všechny členy platí
\[\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1 > 4.\]Z toho vyplývá, že od nějakého členu počínaje je
\[0 < \frac{4}{\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1} < 1,\]a tudíž celá část zlomku uprostřed je rovna nule. Posloupnost je tedy od nějakého členu počínaje konstantní, rovná nule, a tudíž i výsledná limita je
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right] = 0.\]
