Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha VIII

Úloha číslo: 860

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right],\]

kde [·] značí funkci nazývanou celá část definovanou pro všechna reálná čísla tak, že [x] je nejvyšší celé číslo menší nebo rovné  x. Například [2] = 2, [–1] = –1, [1,3] = 1, [1,7] = 1 a [–1,3] = –2 (protože –2 je nejvyšší celé číslo menší než –1,3).

  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right],\]

    kde symbol [...] nejsou pouze závorky, ale značí speciální funkci celá část popsanou v zadání úlohy.

    Nejprve se zaměříme na vnitřek této funkce.

    Ze vztahu

    \[A^4-B^4 = (A-B)(A^3+A^2B+AB^2+B^3)\]

    plyne, že

    \[A-B = \frac{A^4-B^4}{A^3+A^2B+AB^2+B^3}.\]

    Pokud položíme

    \[A = \sqrt[4]{n^4+4n^3}, \qquad B = n,\]

    dostáváme identitu

    \[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n = \] \[ = \frac{n^4+4n^3-n^4}{\sqrt[4]{(n^4+4n^3)^3}+\sqrt[4]{(n^4+4n^3)^2}\cdot n+\sqrt[4]{n^4+4n^3}\cdot n^2+n^3} = \]

    kterou lze upravit na tvar

    \[ = \frac{4n^3}{n^3\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+n^3\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+n^3\sqrt[4]{1+4/n}+n^3} = \] \[ = \frac{4}{\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1}.\]

    Uvědomme si nyní, že podle úlohy Limita pod odmocninou I a věty o aritmetice limit platí, že

    \[\lim \sqrt[4]{(1+4/n)^3} = 1, \quad \lim \sqrt[4]{(1+4/n)^2} = 1, \quad \lim \sqrt[4]{(1+4/n)^1} = 1,\]

    a tudíž

    \[\lim \left(\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1\right) = 1+1+1+1 = 4.\]

    Z toho podle definice vlastní limity posloupnosti vyplývá, že od nějakého členu počínaje je

    \[\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1 < 5.\]

    Zároveň si všimněme, že pro všechny členy platí

    \[\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1 > 4.\]

    Z toho vyplývá, že od nějakého členu počínaje je

    \[0 < \frac{4}{\sqrt[4]{(1+4/n)^3}+\sqrt[4]{(1+4/n)^2}+\sqrt[4]{1+4/n}+1} < 1,\]

    a tudíž celá část zlomku uprostřed je rovna nule. Posloupnost je tedy od nějakého členu počínaje konstantní, rovná nule, a tudíž i výsledná limita je

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \left[\sqrt[4]{n^4+4n^3}-n\right] = 0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha vyžadující neobvyklý trik nebo nápad
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze