Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita cyklometrické funkce IV.

Úloha číslo: 1192

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan n\right).\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan n\right).\]

    Existuje-li limita funkce

    \[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right),\]

    potom existuje také limita posloupnosti a je jí rovna.

    Pomocí vhodného rozšíření a věty o aritmetice limit lze psát

    \[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\cdot x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right) = \] \[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}\cdot \lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right) = \]

    podle úlohy Základní limity cyklometrických funkcí je dále

    \[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\cdot 1 = \]

    a díky spojitosti odmocniny je

    \[ \sqrt{\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{1} = 1.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze