Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita cyklometrické funkce IV.
Úloha číslo: 1192
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan n\right).\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{n\to \infty} \sqrt{n^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan n\right).\]Existuje-li limita funkce
\[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x^2+1}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right),\]potom existuje také limita posloupnosti a je jí rovna.
Pomocí vhodného rozšíření a věty o aritmetice limit lze psát
\[\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\cdot x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right) = \] \[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}\cdot \lim_{x\to +\infty} x\cdot\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right) = \]podle úlohy Základní limity cyklometrických funkcí je dále
\[\lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\cdot 1 = \]a díky spojitosti odmocniny je
\[ \sqrt{\lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)} = \sqrt{1} = 1.\]
