Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita posloupnosti - komplexní úloha V
Úloha číslo: 855
Určete limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n}.\]Řešení
Určujeme limitu posloupnosti
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n}.\]Vytkneme nejrychleji rostoucí člen.
\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ 4\cdot\sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1}.\]Podle úlohy Limita geometrické posloupnosti máme, že
\[\lim \ \left(\frac{2}{4}\right)^n = 0, \qquad \lim \ \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0.\]Podle části (c) úlohy Limita posloupnosti - růstová škála máme též, že
\[\lim \ \frac{n^2}{4^n} = 0, \qquad \lim \ \frac{n^3}{4^n} = 0, \qquad \lim \ \frac{n^4}{4^n} = 0.\]Tudíž máme, že
\[\lim \ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 = 0+0+0+0+0+1 = 1.\]Podle definice vlastní limity posloupností z toho vyplývá, že od nějakého členu počínaje platí
\[ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \leq 1+\varepsilon,\]kde ε > 0 můžeme volit libovolně. Protože zároveň platí pro všechna přirozená n, že
\[ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \geq 1,\]můžeme psát
\[1 \leq \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \leq 1+\varepsilon,\]a tudíž také
\[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]Protože ale podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I je
\[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]je podle úlohy Věta o dvou policajtech také
\[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 1.\]Tudíž
\[\lim_{\small n\to\infty} \ 4\cdot\sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 4{\cdot} 1 = 4.\]
