Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita posloupnosti - komplexní úloha V

Úloha číslo: 855

Určete limitu posloupnosti

\[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n}.\]
  • Řešení

    Určujeme limitu posloupnosti

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n}.\]

    Vytkneme nejrychleji rostoucí člen.

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{n^2+n^3+n^4+2^n+3^n+4^n} = \] \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ 4\cdot\sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1}.\]

    Podle úlohy Limita geometrické posloupnosti máme, že

    \[\lim \ \left(\frac{2}{4}\right)^n = 0, \qquad \lim \ \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0.\]

    Podle části (c) úlohy Limita posloupnosti - růstová škála máme též, že

    \[\lim \ \frac{n^2}{4^n} = 0, \qquad \lim \ \frac{n^3}{4^n} = 0, \qquad \lim \ \frac{n^4}{4^n} = 0.\]

    Tudíž máme, že

    \[\lim \ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 = 0+0+0+0+0+1 = 1.\]

    Podle definice vlastní limity posloupností z toho vyplývá, že od nějakého členu počínaje platí

    \[ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \leq 1+\varepsilon,\]

    kde ε > 0 můžeme volit libovolně. Protože zároveň platí pro všechna přirozená n, že

    \[ \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \geq 1,\]

    můžeme psát

    \[1 \leq \frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1 \leq 1+\varepsilon,\]

    a tudíž také

    \[\sqrt[n]{1} \leq \sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} \leq \sqrt[n]{1+\varepsilon}.\]

    Protože ale podle úlohy Limita posloupnosti – n-tá odmocnina I je

    \[\lim \ \sqrt[n]{1} = 1, \qquad \lim \ \sqrt[n]{1+\varepsilon} = 1,\]

    je podle úlohy Věta o dvou policajtech také

    \[ = \lim_{\small n\to\infty} \ \sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 1.\]

    Tudíž

    \[\lim_{\small n\to\infty} \ 4\cdot\sqrt[n]{\frac{n^2}{4^n}+\frac{n^3}{4^n}+\frac{n^4}{4^n}+\left(\frac{2}{4}\right)^n+\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 4{\cdot} 1 = 4.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Zaslat komentář k úloze