Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Limita rekurentně zadané posloupnosti I

Úloha číslo: 874

Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy

\[a_1 = 1, \qquad a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n\]

a pokud existuje, určete ji!

  • Řešení

    Najdeme vzorec pro n-tý člen posloupnosti. Předesíláme, že jde vlastně o geometrickou posloupnost, neboť každý následující člen dostáváme násobením stejným číslem.

    Zřejmě tedy platí

    \[a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} = \frac{1}{2^2}a_{n-2} = \ldots = \frac{1}{2^{n-1}}a_1 = \frac{1}{2^{n-1}}\xrightarrow{n\to+\infty} 0.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze