Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita rekurentně zadané posloupnosti I
Úloha číslo: 874
Rozhodněte, zda existuje nebo neexistuje limita posloupnosti zadané rekurentně vztahy
\[a_1 = 1, \qquad a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n\]a pokud existuje, určete ji!
Řešení
Najdeme vzorec pro n-tý člen posloupnosti. Předesíláme, že jde vlastně o geometrickou posloupnost, neboť každý následující člen dostáváme násobením stejným číslem.
Zřejmě tedy platí
\[a_n = \frac{1}{2}a_{n-1} = \frac{1}{2^2}a_{n-2} = \ldots = \frac{1}{2^{n-1}}a_1 = \frac{1}{2^{n-1}}\xrightarrow{n\to+\infty} 0.\]
