Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti

Úloha číslo: 1214

OBSAH:

  1. Definice derivace
  2. Věta o aritmetice derivací
  3. Věta o derivaci složené funkce
  4. Věta o derivaci inverzní funkce
  5. Definice derivace vyšších řádů
  6. Leibnitzova formule pro derivaci vyšších řádů

  • Definice derivace

    Derivace Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Nechť x0 je konečné reaálné číslo. Pak definujeme derivaci \(f^{´}(x_0)\) funkce f v bodě x0 předpisem:

    \[f^{´}(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

    Tato limita nemusí existovat, pak funkce f v bodě x0 derivaci nemá. Zároveň tato limita může existovat, ale být nevlastní. Pak mluvíme přirozeně o nevlastní derivaci.

    Pro derivaci funkce f v bodě x0 se používá též značení

    \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0).\]

    Symboly

    \[f^{´}, \qquad \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\]

    značíme funkci, jejíž hodnotou v bodě x je derivace funkce f v tomto bodě, pokud existuje. Tuto funkci nazýváme krátce (první) derivací funkce f.

    Definiční obor derivace jako funkce je vždy částí definičního oboru derivované funkce, ale nemusí s ním být totožný. Příkladem je například funkce \(|x|\), která je definována na \(\mathbb{R}\), ale v bodě nula nemá derivaci.

    Rekurzivně definujeme druhou derivaci jako derivaci první derivace atd.

    Poznámka:

    Existence \(f^{´}(x_0)\) vyžaduje, aby f byla definována v nějakém okolí U(x0) bodu x0.

    Definujeme také derivaci zprava předpisem

    \[f^{´}_+(x_0) = \lim_{x \to x_{0}+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

    a zleva předpisem

    \[f^{´}_-(x_0) = \lim_{x \to x_{0}-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]

    Platí:

    1. \(f^{´}(x_0)=A \in R^*\) právě tehdy když \(A=f^{´}_+(x_{0})=f^{´}_-(x_{0})\)

    2. Také platí, že:

      \[f^{´}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

    Poznámka – geometrický význam derivace:

    Pro směrnici sečny grafu funkce f procházející body \([x,f(x)], \ [x_0,f(x_0)]\) platí: \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Pro směrnici tečny grafu funkce f v bodě x0 platí: \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

    Poznámka – fyzikální význam derivace:

    Vyjadřuje změnu jedné veličiny v závislosti na limitní změně jiné veličiny. Např. okamžitá rychlost je definována jako derivace polohového vektoru:

    \[\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\lim_{t \to {t_0}}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(t_0)}{t-t_0}\]

    (Derivace vektorové funkce podle proměnné t je zde definována jako vektor derivací jeho složek podle proměnné t.)

  • Věta o aritmetice derivací

    Aritmetika derivací

    Nechť f, g jsou reálné funkce reálné proměnné a nechť \(f^{´}(x_0)\), \(g^{´}(x_0)\) existují (vlastní či nevlastní). Pak

    pro derivaci součtu platí:

    \[(f+g)^{´}(x_0)=f^{´}(x_0)+g^{´}(x_0)\]

    má-li pravá strana smysl.

    Nechť dále c je reálné číslo, pak

    pro vytýkání konstanty platí:

    \[(cf)^{´}(x_0)=c\cdot f^{´}(x_0)\]

    má-li pravá strana smysl.

    Za předpokladu, že je alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě x0, pak

    pro derivaci součinu platí:

    \[(f\cdot g)^{´}(x_0)=f^{´}(x_0)g(x_0)+ g^{´}(x_0)f(x_0)\]

    má-li pravá strana smysl.

    Jestliže, je funkce g spojitá v bodě x0, pak:

    pro derivaci podílu platí:

    \[\left( \frac{f}{g} \right)^{´} = \frac{f^{´}(x_0)g(x_0)-g^{´}(x_0)f(x_0)}{g^2(x_0)} \]

    má-li pravá strana smysl.

  • Věta o derivaci složené funkce

    Nechť funkce f má derivaci v bodě y0. Nechť funkce g má derivaci v bodě x0, přičemž y0 = g(x0) a nechť funkce g je spojitá v bodě x0, pak:

    \[(f \circ g)^{´}(x_0)=f^{´}(g(x_0)) \cdot g^{´}(x_0)\]

    má-li pravá strana smysl.

  • Věta o derivaci inverzní funkce

    Nechť f je spojitá a ryze monotónní v intervalu \(I:=(a,b)\subset R,\, x_0 \in I.\)

    1. Je-li \(f^{´}(x_0) \in R^*- \left\{ 0 \right\}\), pak \((f^{-1})^{´}(y_0)=\frac{1}{f^{´}(f^{-1}(y_0))},\, y_0=f(x_0)\)

    2. Je-li \(f^{´}(x_0)=0\) a f je rostoucí (klesající) funkce pak:

      \[(f^{-1})^{´}(y_0)=+\infty , \, ((f^{-1})^{´}(y_0)=-\infty)\]

  • Derivace vyšších řádů

    Definice:

    Nechť f má v jistém okolí bodu x0 derivaci řádu \(n \in N\). Pak definujeme (n+1)-ní derivaci fce f v bodě x0 předpisem:

    \[f^{(n+1)}(x_0):=\lim_{x \to x_0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}\]
  • Leibnitzova formule

    Nechť f, g mají v bodě x0 vlastní derivace řádu n, kde n je přirozené číslo. Pak:

    \[(fg)^{(n)}(x_0)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0)\tag{*}\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha řešená úvahou
Úloha s vysvětlením teorie
Zaslat komentář k úloze