Sbírka řešených úloh

Derivace funkce jedné reálné proměnné, základní vlastnosti

Úloha číslo: 1214

• Definice derivace

  Derivace Nechť f je reálná funkce jedné reálné proměnné. Nechť x₀ je konečné reaálné číslo. Pak definujeme derivaci \(f^{´}(x_0)\) funkce f v bodě x₀ předpisem:

  \[f^{´}(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

  Tato limita nemusí existovat, pak funkce f v bodě x₀ derivaci nemá. Zároveň tato limita může existovat, ale být nevlastní. Pak mluvíme přirozeně o nevlastní derivaci.

  Pro derivaci funkce f v bodě x₀ se používá též značení

  \[\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0).\]

  Symboly

  \[f^{´}, \qquad \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\]

  značíme funkci, jejíž hodnotou v bodě x je derivace funkce f v tomto bodě, pokud existuje. Tuto funkci nazýváme krátce (první) derivací funkce f.

  Definiční obor derivace jako funkce je vždy částí definičního oboru derivované funkce, ale nemusí s ním být totožný. Příkladem je například funkce \(|x|\), která je definována na \(\mathbb{R}\), ale v bodě nula nemá derivaci.

  Rekurzivně definujeme druhou derivaci jako derivaci první derivace atd.

  Poznámka:

  Existence \(f^{´}(x_0)\) vyžaduje, aby f byla definována v nějakém okolí U(x₀) bodu x₀.

  Definujeme také derivaci zprava předpisem

  \[f^{´}_+(x_0) = \lim_{x \to x_{0}+} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

  a zleva předpisem

  \[f^{´}_-(x_0) = \lim_{x \to x_{0}-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.\]

  Platí:

  1. \(f^{´}(x_0)=A \in R^*\) právě tehdy když \(A=f^{´}_+(x_{0})=f^{´}_-(x_{0})\)

  2. Také platí, že:

     \[f^{´}(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\]

  Poznámka – geometrický význam derivace:

  Pro směrnici sečny grafu funkce f procházející body \([x,f(x)], \ [x_0,f(x_0)]\) platí: \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\] Pro směrnici tečny grafu funkce f v bodě x₀ platí: \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

  Poznámka – fyzikální význam derivace:

  Vyjadřuje změnu jedné veličiny v závislosti na limitní změně jiné veličiny. Např. okamžitá rychlost je definována jako derivace polohového vektoru:

  \[\vec{v}=\frac{\mathrm{d} \vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}=\lim_{t \to {t_0}}\frac{\vec{r}(t)-\vec{r}(t_0)}{t-t_0}\]

  (Derivace vektorové funkce podle proměnné t je zde definována jako vektor derivací jeho složek podle proměnné t.)

• Věta o aritmetice derivací

  Aritmetika derivací

  Nechť f, g jsou reálné funkce reálné proměnné a nechť \(f^{´}(x_0)\), \(g^{´}(x_0)\) existují (vlastní či nevlastní). Pak

  pro derivaci součtu platí:

  \[(f+g)^{´}(x_0)=f^{´}(x_0)+g^{´}(x_0)\]

  má-li pravá strana smysl.

  Nechť dále c je reálné číslo, pak

  pro vytýkání konstanty platí:

  \[(cf)^{´}(x_0)=c\cdot f^{´}(x_0)\]

  má-li pravá strana smysl.

  Za předpokladu, že je alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě x₀, pak

  pro derivaci součinu platí:

  \[(f\cdot g)^{´}(x_0)=f^{´}(x_0)g(x_0)+ g^{´}(x_0)f(x_0)\]

  má-li pravá strana smysl.

  Jestliže, je funkce g spojitá v bodě x₀, pak:

  pro derivaci podílu platí:

  \[\left( \frac{f}{g} \right)^{´} = \frac{f^{´}(x_0)g(x_0)-g^{´}(x_0)f(x_0)}{g^2(x_0)} \]

  má-li pravá strana smysl.

• Aritmetika součtu - důkaz

  Užijeme definice derivace \(f^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) a přepíšeme derivaci \((f+g)^{´}(x_0)\) jako:

  \[(f+g)^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}\]

  což se dá dále rozepsat jako:

  \[\lim_{x \to x_0}\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}=\]

  což se dle aritmetiky limit rovná:

  \[=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\]

  což se dle definice derivace rovná:

  \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f^{´}(x_0)+g^{´}(x_0)\] \[QED\]

• Vytýkání konstanty - důkaz

  Užijeme definice derivace \(f^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) a přepíšeme derivaci \((cf)^{´}(x_0)\) pomocí věty o aritmetice limit jako

  \[(cf)^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{cf(x)-cf(x_0)}{x-x_0} = c\cdot\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = c\cdot f^{\prime}(x_0)\] \[QED\]

• Aritmetika součinu - důkaz

  Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že je to funkce f, která je spojitá v bodě x₀. (Jinak bychom v následujícím postupu zaměnili f za g a naopak.)

  Užijeme definice derivace \(f^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) a přepíšeme derivaci \((f \cdot g)^{´}(x_0)\) jako:

  \[(f \cdot g)^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{fg(x)-fg(x_0)}{x-x_0}\]

  což se dá dále rozepsat jako:

  \[\lim_{x \to x_0}\frac{(f)(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\] \[=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\]

  což se dle aritmetiky limit rovná:

  \[=\lim_{x \to x_0}f(x)\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}g(x_0)\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\] \[=\lim_{x \to x_0}f(x) \lim_{x \to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}+g(x_0) \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \]

  což se dle spojitosti funkce f a definice derivace rovná:

  \[= f(x_0)g^{´}(x_0)+g(x_0)f^{´}(x_0)\] \[QED\]

• Aritmetika podílu - důkaz

  Užijeme definice derivace \(f^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) a přepíšeme derivaci \(\left(\frac{f}{g}\right)^{´}(x_0)\) jako:

  \[\left(\frac{f}{g}\right)^{´}(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}\]

  což se dá dále rozepsat jako:

  \[\lim_{x \to x_0}\frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x)-\left(\frac{f}{g}\right)(x_0)}{x-x_0}=\] \[=\lim_{x \to x_0}\frac{\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{g(x)g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)+f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x)}{x-x_0} \cdot \frac{1}{g(x)g(x_0)}\]

  což se dle aritmetiky limit rovná:

  \[=\lim_{x \to x_0}\frac{1}{g(x)g(x_0)} \left( \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x \to x_0}g(x_0)-\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\lim_{x \to x_0}f(x_0) \right)\]

  což se dle definice derivace rovná a faktu, že g je v x_0 spojitá:

  \[\lim_{x \to x_0}\frac{1}{g(x)g(x_0)} \left( \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x \to x_0}g(x_0)-\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\lim_{x \to x_0}f(x_0) \right)=\] \[=(f^{´}(x_0)g(x_0)-g^{´}(x_0)f(x_0))\frac{1}{g^{2}(x_0)}\] \[QED\]

• Věta o derivaci složené funkce

  Nechť funkce f má derivaci v bodě y₀. Nechť funkce g má derivaci v bodě x₀, přičemž y₀ = g(x₀) a nechť funkce g je spojitá v bodě x₀, pak:

  \[(f \circ g)^{´}(x_0)=f^{´}(g(x_0)) \cdot g^{´}(x_0)\]

  má-li pravá strana smysl.

• Důkaz

  Zavedeme funkci F:

  \[F(y)=\frac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0};{} y \in P(y_0,\delta), \] \[F(y_0)=f^{´}(y_0).\]

  kde používáme značení

  \[P(y_0,\delta) = (y_0-\delta,y_0+\delta)\setminus\{y_0\}\]

  pro δ-prstencové okolí bodu y₀. Tvrdíme:

  1. F je spojitá v y₀:

     \[\lim_{y \to y_0}F(y)=\lim_{y \to y_0}\frac{f(y)-f(y_0)}{y-y_0}=f^{´}(y_0) = F(y_0).\]

  2. Protože také g je spojitá v x₀, tak podle věty o spojitosti složené funkce je i \(F \circ g\) spojitá v x₀

     \[\Rightarrow \lim_{x \to x_0}F(g(x))=F(g(x_0))=F(y_0)\]

  3. Ukážeme, že pro každé prstencové okolí \(P(x_0,\delta)\) platí:

     \[\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\]

     1. \(x\in P(x_0,\delta), g(x)\ne g(x_0)\):

        \[F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} = \frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}\]

     2. \(x\in P(x_0,\delta), g(x)=g(x_0)\):

        \[0=\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=F(g(x_0))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=0\]

  4. F je spojitá v g(x₀) – platí podmínka (S) věty o limitě složené funkce:

     \[\lim_{x \to x_0}F(g(x))=\lim_{y \to y_0}F(y)=F(y_0)=f^{´}(y_0)=f^{´}(g(x_0))\] \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=f^{´}(g(x_0))\cdot g^{´}(x_0)\]

  \[QED\]

• Věta o derivaci inverzní funkce

  Nechť f je spojitá a ryze monotónní v intervalu \(I:=(a,b)\subset R,\, x_0 \in I.\)

  1. Je-li \(f^{´}(x_0) \in R^*- \left\{ 0 \right\}\), pak \((f^{-1})^{´}(y_0)=\frac{1}{f^{´}(f^{-1}(y_0))},\, y_0=f(x_0)\)

  2. Je-li \(f^{´}(x_0)=0\) a f je rostoucí (klesající) funkce pak:

     \[(f^{-1})^{´}(y_0)=+\infty , \, ((f^{-1})^{´}(y_0)=-\infty)\]

• Důkaz

  1. Zavedeme pomocnou funkci h: \[h(x):=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)},\, x \in P(x_0) \]

     kde \(P(x_0)\) značí prstencové okolí bodu x₀, kde je funkce h definována. Víme, že

     \[\lim_{x \to x_0}h(x)=\lim_{x \to x_0}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} = \frac{1}{f^{´}(x_0)}.\]

     Dále víme, že

     \[f(I)=J\]

     kde J je interval, neboť spojitá funkce zobrazuje interval na interval. Platí zřejmě také, že

     \[f^{-1}(J)=I.\]

     Navíc víme, že bod

     \[y_0=f(x_0) \in Int \, J \ (Int \, J \textrm{ – vnitřek intervalu } J).\]

     Z výše odvozeného faktu, že

     \[\lim_{x \to x_0}h(x)= \frac{1}{f^{´}(x_0)},\]

     vyplývá, že

     \[\lim_{y \to y_0}(h \circ f^{-1})(y)=\frac{1}{f^{´}(f^{-1}(y_0))}.\]

     Dle věty o spojitosti inverzní funkce je f^-1 spojitá v J, odkud samozřejmě vyplývá, že \(f^{-1}\) je spojitá v bodě y₀. Navíc \(f^{-1}\) splňuje podmínku (P) věty o limitě složené funkce, protože je ryze monotónní (jakožto inverzní funkce k ryze monotónní funkci).

     Na druhou stranu dosazením podle definice funkce h dostáváme, s přihlédnutím k rovnosti \(x_0 = f^{-1}(y_0)\), že:

     \[\lim_{y \to y_0}(h \circ f^{-1})(y)=\lim_{y \to y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{f(f^{-1}(y))-f(f^{-1}(y_0))}=\] \[=\lim_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=(f^{-1})^{´}(y_0)\] \[QED\]

  2. f je rostoucí, \(f^{-1}(x_0)=0\) \[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \gt 0, \, \forall x \in P(x_0)\] \[\lim_{x \to x_0} h(x)=\lim_{x \to x_0} \frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=+\infty\] dále postupujeme stejně jako v části 1. Pro \(-\infty\) postupujeme analogycky. \[QED\]

• Derivace vyšších řádů

  Definice:

  Nechť f má v jistém okolí bodu x₀ derivaci řádu \(n \in N\). Pak definujeme (n+1)-ní derivaci fce f v bodě x₀ předpisem:

  \[f^{(n+1)}(x_0):=\lim_{x \to x_0}\frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}\]

• Leibnitzova formule

  Nechť f, g mají v bodě x₀ vlastní derivace řádu n, kde n je přirozené číslo. Pak:

  \[(fg)^{(n)}(x_0)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0)\tag{*}\]

• Důkaz

  Postupujeme matematickou indukcí:

  1. Pro \(n = 1\): \[L: \, (fg)^{´}(x_0)=f^{´}(x_0)g(x_0)+g^{´}(x_0)f(x_0)\] \[P: \, (fg)^{(1)}(x_0)=\sum_{k=0}^1 \binom{1}{k}f^{(k)}(x_0)g^{(1-k)}(x_0)=f^{´}(x_0)g(x_0)+g^{´}(x_0)f(x_0)\] \[L=P\] \(\Rightarrow\) pro jedničku zjevně platí
  2. Předpokládáme že (*) platí pro nějaké \(n \in N\) (indukční předpoklad, zkráceně IP).
  3. Dokážeme pak, že (*) platí pro \(n+1\) \[(fg)^{(n+1)}(x_0)=\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0) \right) ^{´}(x_0)=\] rozepíšeme dle vzorce pro derivaci součtu a součinu: \[=\left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left[ f^{(k+1)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0)+f^{(k)}(x_0)g^{(n-k+1)}(x_0) \right] \right)(x_0)=\] \[= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k+1)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0) + \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)g^{(n-k+1)}(x_0)=\] zavedeme substituci pro první sumu v druhé přeznačíme: \[=\sum_{l=1}^{n+1} \binom{n}{l-1} f^{(l)}(x_0)g^{(n-l+1)}(x_0) + \sum_{l=0}^n \binom{n}{l} f^{(k)}(x_0)g^{(n-l+1)}(x_0)=\] užijeme metodu vytýkání z výrazu: \[=\sum_{l=1}^{n}\left[ \binom{n}{l-1} + \binom{n}{l} \right] \left[ f^{(l)}(x_0)g^{(n-l+1)}(x_0)+f(x_0)g^{(n+1)}(x_0)+f^{(n+1)}(x_0)g(x_0) \right] =\] binomická čísla sečteme dle známého vztahu: \[=\sum_{l=1}^{n} \binom{n+1}{l}f^{(l)}(x_0)g^{(n-l+1)}(x_0)\]

  \[QED\]